量子信息理论

量子信息理论基础，涵盖态表示、熵、保真度、距离度量和量子通道表示。本指南将理论形式化与 pyqpanda3 的 quantum_info 模块提供的类和函数联系起来。

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量子态表示

态矢量

$n$ 个量子比特的纯量子态（Pure Quantum State）是希尔伯特空间 $\mathcal{H}={\mathbb{C}}^{2^n}$ 中的归一化矢量：

$$|\psi ⟩=\sum _{i=0}^{2^n-1}{\alpha }_i|i⟩,\sum _i|{\alpha }_i{|}^2=1$$

其中 $\{|i⟩\}$ 是计算基，${\alpha }_i\in \mathbb{C}$ 是概率振幅。

性质：

• 归一化：$⟨\psi |\psi ⟩=1$
• 全局相位：$|\psi ⟩$ 和 $e^{i\varphi }|\psi ⟩$ 表示相同的物理态
• 叠加：一个态可以同时处于多个基态的叠加中

pyqpanda3 的 StateVector 类表示纯态并提供：

• 从数组、线路或计算基态构建
• 通过量子线路演化：sv.evolve(circuit)
• 转换为密度矩阵：sv.get_density_matrix()
• 纯度计算：sv.purity()

密度矩阵

混合量子态（Mixed Quantum State）由密度矩阵（密度算符）描述：

$$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$$

其中 $\{p_i,|{\psi }_i⟩\}$ 是纯态系综，满足 $p_i\ge 0$ 且 $\sum _i{p}_i=1$。

等价定义：密度矩阵是满足以下条件的任何矩阵 $\rho$：

1. 厄米性：$\rho ={\rho }^{†}$
2. 半正定性：$\rho \ge 0$（所有特征值 $\ge 0$）
3. 迹为 1：$\text{Tr}(\rho )=1$

Bloch 球（单量子比特）：任何单量子比特密度矩阵可以写成：

$$\rho =\frac{1}{2}(I+\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{\sigma })=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+r_z& r_x-i{r}_y\\ r_x+i{r}_y& 1-r_z\end{array}\right)$$

其中 $\overrightarrow{r}=(r_x,r_y,r_z)$ 是 Bloch 矢量，满足 $|\overrightarrow{r}|\le 1$。

• 纯态：$|\overrightarrow{r}|=1$（在 Bloch 球面上）
• 混合态：$|\overrightarrow{r}|<1$（在 Bloch 球内部）
• 最大混合态：$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$，$\rho =I/2$（球心）

pyqpanda3 的 DensityMatrix 类提供：

• 从矩阵、态矢量或线路构建
• 通过量子线路演化：dm.evolve(circuit)；通过量子通道演化：使用通道自身的 channel.evolve(dm) 方法
• 纯度：dm.purity()
• 转换为态矢量（如果是纯态）：dm.to_statevector()

纯态与混合态

性质	纯态	混合态
表示	$|\psi ⟩$	$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$
纯度	$\text{Tr}({\rho }^2)=1$	$\text{Tr}({\rho }^2)<1$
Bloch 矢量	$|\overrightarrow{r}|=1$	$|\overrightarrow{r}|<1$
幂等性	${\rho }^2=\rho$	${\rho }^2\ne \rho$
von Neumann 熵	$S(\rho )=0$	$S(\rho )>0$
示例	$|0⟩$, $\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}$	$\frac{I}{2}$, $\frac{1}{2}|0⟩⟨0|+\frac{1}{2}|1⟩⟨1|$

偏迹与约化态

对于二分系统 ${\rho }_{AB}$，对子系统 $B$ 的偏迹（Partial Trace）给出约化密度矩阵：

$${\rho }_A={\text{Tr}}_B({\rho }_{AB})=\sum _i⟨i_B|{\rho }_{AB}|i_B⟩$$

约化态 ${\rho }_A$ 包含了仅通过测量子系统 $A$ 可获取的所有信息。

可分性：态 ${\rho }_{AB}$ 是可分的（Separable），如果可以写成：

$${\rho }_{AB}=\sum _i{p}_i{\rho }_A^{(i)}\otimes {\rho }_B^{(i)}$$

否则，该态是纠缠的（Entangled）。

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von Neumann 熵

定义

量子态 $\rho$ 的 von Neumann 熵为：

$$S(\rho )=-\text{Tr}(\rho {\log }_2\rho )=-\sum _i{\lambda }_i{\log }_2{\lambda }_i$$

其中 $\{{\lambda }_i\}$ 是 $\rho$ 的特征值。

这是 Shannon 熵 $H(X)=-\sum _i{p}_i{\log }_2{p}_i$ 的量子推广。

性质

1. 非负性：

$$S(\rho )\ge 0$$

当且仅当 $\rho$ 是纯态时等号成立。

2. 最大熵：

$$S(\rho )\le {\log }_{2}d$$

其中 $d$ 是希尔伯特空间维数。对于最大混合态 $\rho =I/d$ 时等号成立。

3. 幺正不变性：

$$S(U\rho U^{†})=S(\rho )$$

幺正演化保持熵不变（信息守恒）。

4. 凹性：

$$S\left(\sum _i{p}_i{\rho }_i\right)\ge \sum _i{p}_{i}S({\rho }_i)$$

混合态增加熵。

5. 次可加性：

$$S({\rho }_{AB})\le S({\rho }_A)+S({\rho }_B)$$

6. 强次可加性（最强的不等式）：

$$S({\rho }_{ABC})+S({\rho }_B)\le S({\rho }_{AB})+S({\rho }_{BC})$$

纠缠熵

对于纯二分态 $|\psi {⟩}_{AB}$，纠缠熵为：

$$E(|\psi {⟩}_{AB})=S({\rho }_A)=S({\rho }_B)$$

其中 ${\rho }_A={\text{Tr}}_B(|\psi ⟩⟨\psi |)$，${\rho }_B={\text{Tr}}_A(|\psi ⟩⟨\psi |)$。

注意，对于纯二分态，$S({\rho }_A)=S({\rho }_B)$ — 纠缠是对称的。

示例：

• 直积态 $|0{⟩}_A\otimes |0{⟩}_B$：$E=0$（无纠缠）
• Bell 态 $\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$：$E=1$（最大纠缠，1 ebit）
• GHZ 态 $\frac{|000⟩+|111⟩}{\sqrt{3}}$：$E=1$（对任何二分为 1 ebit）

量子互信息

量子互信息衡量两个系统之间的总关联：

$$I(A:B)=S({\rho }_A)+S({\rho }_B)-S({\rho }_{AB})$$

• $I(A:B)=0$：$A$ 和 $B$ 无关联（${\rho }_{AB}={\rho }_A\otimes {\rho }_B$）
• $I(A:B)>0$：$A$ 和 $B$ 有关联（包括经典关联和量子关联）

条件熵

量子条件熵：

$$S(A|B)=S({\rho }_{AB})-S({\rho }_B)$$

与经典情况不同，量子条件熵可以是负数：

• $S(A|B)<0$ 表明存在量子纠缠
• 这种负性具有操作意义：它对应量子态合并（利用纠缠传输量子信息的能力）

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量子保真度

定义

两个量子态 $\rho$ 和 $\sigma$ 之间的保真度（Fidelity）为：

$$F(\rho ,\sigma )={\left(\text{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho }\sigma \sqrt{\rho }}\right)}^2$$

对于纯态 $|\psi ⟩$ 和 $|\varphi ⟩$：

$$F(|\psi ⟩,|\varphi ⟩)=|⟨\psi |\varphi ⟩{|}^2$$

对于纯态 $|\psi ⟩$ 和混合态 $\rho$：

$$F(|\psi ⟩,\rho )=⟨\psi |\rho |\psi ⟩$$

Uhlmann 定理

保真度可以用纯化表示：

$$F(\rho ,\sigma )=\underset{|\psi ⟩,|\varphi ⟩}{max}|⟨\psi |\varphi ⟩{|}^2$$

其中 $|\psi ⟩$ 和 $|\varphi ⟩$ 分别是 $\rho$ 和 $\sigma$ 的纯化。这提供了几何解释：保真度是两个态的任意纯化之间的最大重叠。

性质

1. 对称性：$F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )$

2. 界：$0\le F(\rho ,\sigma )\le 1$

• $F=1$：相同态（$\rho =\sigma$）
• $F=0$：正交态

3. 张量积下的乘性：

$$F({\rho }_1\otimes {\rho }_2,{\sigma }_1\otimes {\sigma }_2)=F({\rho }_1,{\sigma }_1)\cdot F({\rho }_2,{\sigma }_2)$$

4. CPTP 映射下的单调性：

$$F(\mathcal{E}(\rho ),\mathcal{E}(\sigma ))\ge F(\rho ,\sigma )$$

量子通道不能降低保真度。

Bures 距离

Bures 距离与保真度相关：

$$D_B(\rho ,\sigma )=\sqrt{2(1-\sqrt{F(\rho ,\sigma )})}$$

它是密度矩阵空间上的真度量，满足三角不等式。

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距离度量

pyqpanda3 提供三种距离度量用于比较概率分布和量子态。

Hellinger 距离

两个离散概率分布 $P$ 和 $Q$ 之间的 Hellinger 距离：

$$H(P,Q)=\frac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{P}-\sqrt{Q}{|}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\sum _x{(\sqrt{P(x)}-\sqrt{Q(x)})}^2}$$

性质：

• $0\le H(P,Q)\le 1$
• $H(P,Q)=0⟺P=Q$
• 对称性：$H(P,Q)=H(Q,P)$
• 与 Bhattacharyya 系数相关：$H=\sqrt{1-BC(P,Q)}$

pyqpanda3 实现：

from pyqpanda3.quantum_info import hellinger_distance

# 使用整数键
p = {0: 0.5, 1: 0.3, 2: 0.2}
q = {0: 0.4, 1: 0.4, 2: 0.2}
dist = hellinger_distance(p, q)

# 使用字符串键
p = {"00": 0.25, "01": 0.25, "10": 0.25, "11": 0.25}
q = {"00": 0.5, "01": 0.0, "10": 0.0, "11": 0.5}
dist = hellinger_distance(p, q)

Hellinger 保真度

Hellinger 保真度从 Hellinger 距离导出：

$$F_H(P,Q)={(1-H(P,Q{)}^2)}^2={\left(\sum _x\sqrt{P(x)Q(x)}\right)}^2$$

性质：

• $0\le F_H(P,Q)\le 1$
• $F_H=1⟺P=Q$
• 与 Bhattacharyya 系数相关：$F_H=B{C}^2$

pyqpanda3 实现：

from pyqpanda3.quantum_info import hellinger_fidelity

p = {0: 0.5, 1: 0.5}
q = {0: 0.5, 1: 0.5}
fid = hellinger_fidelity(p, q)  # 1.0（相同分布）

Kullback-Leibler (KL) 散度

KL 散度衡量使用 $Q$ 代替 $P$ 时的信息增益：

离散分布：

$$D_{\text{KL}}(P|Q)=\sum _{x}P(x){\log }_2\frac{P(x)}{Q(x)}$$

连续分布：

$$D_{\text{KL}}(p|q)=\int p(x){\log }_2\frac{p(x)}{q(x)}dx$$

性质：

• $D_{\text{KL}}(P|Q)\ge 0$（Gibbs 不等式）
• $D_{\text{KL}}(P|Q)=0⟺P=Q$（几乎处处）
• 不对称：一般情况下 $D_{\text{KL}}(P|Q)\ne D_{\text{KL}}(Q|P)$
• 不是度量：不满足三角不等式

pyqpanda3 支持离散和连续 KL 散度：

from pyqpanda3.quantum_info import KL_divergence

# 离散分布（列表）
p = [0.5, 0.3, 0.2]
q = [0.4, 0.4, 0.2]
div = KL_divergence(p, q)

# 连续分布（函数）
import numpy as np
div = KL_divergence(
    p_pdf=lambda x: np.exp(-x),  # 指数分布
    q_pdf=lambda x: np.exp(-x**2/2) / np.sqrt(2*np.pi),  # 高斯分布
    x_start=0.0,
    x_end=10.0,
    dx=1e-4
)

迹距离

两个密度矩阵之间的迹距离（Trace Distance）：

$$T(\rho ,\sigma )=\frac{1}{2}|\rho -\sigma {|}_1=\frac{1}{2}\text{Tr}\sqrt{(\rho -\sigma {)}^{†}(\rho -\sigma )}$$

性质：

• $0\le T(\rho ,\sigma )\le 1$
• 真度量（对称、三角不等式）
• 与区分 $\rho$ 和 $\sigma$ 的最优概率相关：

$$P_{\text{correct}}=\frac{1+T(\rho ,\sigma )}{2}$$

• 对于量子比特：$T(\rho ,\sigma )=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{r}}_{\rho }-{\overrightarrow{r}}_{\sigma }|$（Bloch 矢量间欧氏距离的一半）

距离度量比较

度量	类型	对称？	是度量？	范围
Hellinger 距离	经典分布	是	是	$[0,1]$
Hellinger 保真度	经典分布	是	否	$[0,1]$
KL 散度	经典分布	否	否	$[0,\mathrm{\infty })$
迹距离	量子态	是	是	$[0,1]$
保真度	量子态	是	否	$[0,1]$
Bures 距离	量子态	是	是	$[0,2]$

关系：

$$1-F(\rho ,\sigma )\le T(\rho ,\sigma )\le \sqrt{1-F(\rho ,\sigma )}$$$$D_B(\rho ,\sigma )\le T(\rho ,\sigma )\le \sqrt{2}\cdot D_B(\rho ,\sigma )$$

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量子通道表示

量子通道（CPTP 映射）可以用多种等价形式表示。pyqpanda3 的 quantum_info 模块提供五种可相互转换的表示。

Kraus 表示

$$\mathcal{E}(\rho )=\sum _i{K}_i\rho K_i^{†},\sum _i{K}_i^{†}{K}_i=I$$

最直观的物理表示 — 每个 Kraus 算符 $K_i$ 代表一个以概率 $p_i=\text{Tr}(K_i\rho K_i^{†})$ 发生的"量子跃迁"。

pyqpanda3 类：Kraus

超算符（Liouville）表示

通道表示为作用在矢量化密度矩阵上的 $d^2\times d^2$ 矩阵：

$$\text{vec}(\mathcal{E}(\rho ))=\mathcal{S}\cdot \text{vec}(\rho )$$

矢量化 $\text{vec}(\rho )$ 将 $\rho$ 的列堆叠成矢量。超算符为：

$$\mathcal{S}=\sum _i{K}_i^{\ast }\otimes K_i$$

其中 $K_i^{\ast }$ 是复共轭（不是伴随）。

pyqpanda3 类：SuperOp

Chi（过程矩阵）表示

通道在归一化 Pauli 基 $\{P_i/\sqrt{d}\}$ 中展开：

$$\mathcal{E}(\rho )=\sum _{i,j}{\chi }_{ij}{P}_i\rho P_j$$

$\chi$ 矩阵（在某些文献中也称为"过程矩阵"）在 Pauli 基中完全表征通道。

pyqpanda3 类：Chi

Choi 矩阵表示

Choi 矩阵通过将通道作用于最大纠缠态的一半获得：

$$J(\mathcal{E})=(\mathcal{E}\otimes I_d)(|\mathrm{\Omega }⟩⟨\mathrm{\Omega }|)=\sum _{i,j}|i⟩⟨j|\otimes \mathcal{E}(|i⟩⟨j|)$$

其中 $|\mathrm{\Omega }⟩=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum _i|i⟩\otimes |i⟩$。

Choi-Jamiolkowski 同构：CPTP 映射与满足 ${\text{Tr}}_1(J)=I$ 的半正定矩阵 $J$ 之间存在双射。

pyqpanda3 类：Choi

Pauli 传输矩阵（PTM）

PTM 在 Pauli 基中表示通道：

$$R_{ij}=\frac{1}{d}\text{Tr}(P_i\cdot \mathcal{E}(P_j))$$

其中 $\{P_i\}$ 是归一化的 Pauli 算符（包括恒等）。对于任何保持厄米性的通道，PTM 是实值矩阵。

物理解释：$R_{ij}$ 告诉你当输入 Pauli $P_j$ 时，输出中出现多少 Pauli $P_i$。对于无噪声恒等通道，$R=I$（恒等矩阵）。

pyqpanda3 类：PTM

转换关系

所有五种表示编码相同的信息，可以自由转换：

在 pyqpanda3 中，转换通过从一个类构造另一个类完成：

from pyqpanda3.quantum_info import Kraus, Choi, SuperOp, Chi, PTM

# 从 Kraus 算符创建通道
kraus = Kraus([...])

# 转换为其他表示
choi = Choi(kraus)
superop = SuperOp(kraus)
chi = Chi(kraus)
ptm = PTM(kraus)

# 所有表示都可以演化量子态
from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix, StateVector
dm = DensityMatrix(...)
evolved = choi.evolve(dm)   # 返回 DensityMatrix
evolved = kraus.evolve(dm)  # 相同结果

表示比较

表示	大小	实值？	最适用于
Kraus	$r\times d\times d$	否（复数）	物理解释、噪声模型
SuperOp	$d^2\times d^2$	否（复数）	通道组合、矩阵运算
Chi	$d^2\times d^2$	否（复数）	过程层析
Choi	$d^2\times d^2$	否（复数）	半正定性检查、通道距离
PTM	$d^2\times d^2$	是	门基准测试、RB 分析

通道组合

通道通过其表示进行组合：

Kraus：组合 ${\mathcal{E}}_2\circ {\mathcal{E}}_1$ 的 Kraus 算符为 $\{K_i^{(2)}{K}_j^{(1)}{\}}_{i,j}$

SuperOp：${\mathcal{S}}_{{\mathcal{E}}_2\circ {\mathcal{E}}_1}={\mathcal{S}}_{{\mathcal{E}}_2}\cdot {\mathcal{S}}_{{\mathcal{E}}_1}$（矩阵乘法）

PTM：$R_{{\mathcal{E}}_2\circ {\mathcal{E}}_1}=R_{{\mathcal{E}}_2}\cdot R_{{\mathcal{E}}_1}$（矩阵乘法，实值）

Choi：$J_{{\mathcal{E}}_2\circ {\mathcal{E}}_1}=({\mathcal{E}}_2\otimes I)(J_{{\mathcal{E}}_1})$

通道距离与保真度

两个通道之间的菱形范数距离：

$$|{\mathcal{E}}_1-{\mathcal{E}}_2{|}_{\diamond }=\underset{\rho }{sup}|({\mathcal{E}}_1\otimes I_k)(\rho )-({\mathcal{E}}_2\otimes I_k)(\rho ){|}_1$$

其中上确界遍历所有输入维度 $k$。菱形范数是量子通道的标准距离度量。

过程保真度：

$$F_{\text{proc}}(\mathcal{E},\mathcal{I})=\frac{1}{d^2}\text{Tr}(J_{\mathcal{E}}{J}_{\mathcal{I}})$$

这衡量通道 $\mathcal{E}$ 与恒等 $\mathcal{I}$ 的接近程度，与随机基准测试误差率相关。

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总结

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另请参阅

• StateVector API — 纯态操作
• DensityMatrix API — 混合态操作
• 量子通道 API — Kraus、Chi、Choi、SuperOp、PTM
• 分析函数 — Hellinger 距离、保真度、KL 散度
• Matrix API — 通用矩阵操作
• 噪声模型理论 — 噪声通道如何影响量子态
• 变分算法 — 在 VQA 中使用量子信息