量子信息理论

量子信息理论基础，涵盖态表示、熵、保真度、距离度量和量子通道表示。本指南将理论形式化与 pyqpanda3 的 quantum_info 模块提供的类和函数联系起来。

量子态表示

态矢量

$n$ 个量子比特的纯量子态（Pure Quantum State）是希尔伯特空间 $H = C^{2^{n}}$ 中的归一化矢量：

| ψ ⟩ = \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} α_{i} | i ⟩, \sum_{i} | α_{i} |^{2} = 1

其中 ${| i ⟩}$ 是计算基， $α_{i} \in C$ 是概率振幅。

性质：

归一化： $⟨ ψ | ψ ⟩ = 1$
全局相位： $| ψ ⟩$ 和 $e^{i ϕ} | ψ ⟩$ 表示相同的物理态
叠加：一个态可以同时处于多个基态的叠加中

pyqpanda3 的 StateVector 类表示纯态并提供：

从数组、线路或计算基态构建
通过量子线路演化：sv.evolve(circuit)
转换为密度矩阵：sv.get_density_matrix()
纯度计算：sv.purity()

密度矩阵

混合量子态（Mixed Quantum State）由密度矩阵（密度算符）描述：

ρ = \sum_{i} p_{i} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} |

其中 ${p_{i}, | ψ_{i} ⟩}$ 是纯态系综，满足 $p_{i} \geq 0$ 且 $\sum_{i} p_{i} = 1$ 。

等价定义：密度矩阵是满足以下条件的任何矩阵 $ρ$ ：

厄米性： $ρ = ρ^{†}$
半正定性： $ρ \geq 0$ （所有特征值 $\geq 0$ ）
迹为 1： $Tr (ρ) = 1$

Bloch 球（单量子比特）：任何单量子比特密度矩阵可以写成：

ρ = \frac{1}{2} (I + \vec{r} \cdot \vec{σ}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + r_{z} & r_{x} - i r_{y} \\ r_{x} + i r_{y} & 1 - r_{z} \end{matrix})

其中 $\vec{r} = (r_{x}, r_{y}, r_{z})$ 是 Bloch 矢量，满足 $| \vec{r} | \leq 1$ 。

纯态： $| \vec{r} | = 1$ （在 Bloch 球面上）
混合态： $| \vec{r} | < 1$ （在 Bloch 球内部）
最大混合态： $\vec{r} = \vec{0}$ ， $ρ = I / 2$ （球心）

pyqpanda3 的 DensityMatrix 类提供：

从矩阵、态矢量或线路构建
通过量子线路演化：dm.evolve(circuit)；通过量子通道演化：使用通道自身的 channel.evolve(dm) 方法
纯度：dm.purity()
转换为态矢量（如果是纯态）：dm.to_statevector()

纯态与混合态

性质	纯态	混合态
表示	$\| ψ ⟩$	$ρ = \sum_{i} p_{i} \| ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} \|$
纯度	$Tr (ρ^{2}) = 1$	$Tr (ρ^{2}) < 1$
Bloch 矢量	$\| \vec{r} \| = 1$	$\| \vec{r} \| < 1$
幂等性	$ρ^{2} = ρ$	$ρ^{2} \neq ρ$
von Neumann 熵	$S (ρ) = 0$	$S (ρ) > 0$
示例	$\| 0 ⟩$ , $\frac{\| 0 ⟩ + \| 1 ⟩}{\sqrt{2}}$	$\frac{I}{2}$ , $\frac{1}{2} \| 0 ⟩ ⟨ 0 \| + \frac{1}{2} \| 1 ⟩ ⟨ 1 \|$

偏迹与约化态

对于二分系统 $ρ_{A B}$ ，对子系统 $B$ 的偏迹（Partial Trace）给出约化密度矩阵：

ρ_{A} = {Tr}_{B} (ρ_{A B}) = \sum_{i} ⟨ i_{B} | ρ_{A B} | i_{B} ⟩

约化态 $ρ_{A}$ 包含了仅通过测量子系统 $A$ 可获取的所有信息。

可分性：态 $ρ_{A B}$ 是可分的（Separable），如果可以写成：

ρ_{A B} = \sum_{i} p_{i} ρ_{A}^{(i)} \otimes ρ_{B}^{(i)}

否则，该态是纠缠的（Entangled）。

von Neumann 熵

定义

量子态 $ρ$ 的 von Neumann 熵为：

S (ρ) = - Tr (ρ \log_{2} ρ) = - \sum_{i} λ_{i} \log_{2} λ_{i}

其中 ${λ_{i}}$ 是 $ρ$ 的特征值。

这是 Shannon 熵 $H (X) = - \sum_{i} p_{i} \log_{2} p_{i}$ 的量子推广。

性质

1. 非负性：

S (ρ) \geq 0

当且仅当 $ρ$ 是纯态时等号成立。

2. 最大熵：

S (ρ) \leq \log_{2} d

其中 $d$ 是希尔伯特空间维数。对于最大混合态 $ρ = I / d$ 时等号成立。

3. 幺正不变性：

S (U ρ U^{†}) = S (ρ)

幺正演化保持熵不变（信息守恒）。

4. 凹性：

S (\sum_{i} p_{i} ρ_{i}) \geq \sum_{i} p_{i} S (ρ_{i})

混合态增加熵。

5. 次可加性：

S (ρ_{A B}) \leq S (ρ_{A}) + S (ρ_{B})

6. 强次可加性（最强的不等式）：

S (ρ_{A B C}) + S (ρ_{B}) \leq S (ρ_{A B}) + S (ρ_{B C})

纠缠熵

对于纯二分态 $| ψ ⟩_{A B}$ ，纠缠熵为：

E (| ψ ⟩_{A B}) = S (ρ_{A}) = S (ρ_{B})

其中 $ρ_{A} = {Tr}_{B} (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)$ ， $ρ_{B} = {Tr}_{A} (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)$ 。

注意，对于纯二分态， $S (ρ_{A}) = S (ρ_{B})$ — 纠缠是对称的。

示例：

直积态 $| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B}$ ： $E = 0$ （无纠缠）
Bell 态 $\frac{| 00 ⟩ + | 11 ⟩}{\sqrt{2}}$ ： $E = 1$ （最大纠缠，1 ebit）
GHZ 态 $\frac{| 000 ⟩ + | 111 ⟩}{\sqrt{2}}$ ： $E = 1$ （对任何二分为 1 ebit）

量子互信息

量子互信息衡量两个系统之间的总关联：

I (A : B) = S (ρ_{A}) + S (ρ_{B}) - S (ρ_{A B})

$I (A : B) = 0$ ： $A$ 和 $B$ 无关联（ $ρ_{A B} = ρ_{A} \otimes ρ_{B}$ ）
$I (A : B) > 0$ ： $A$ 和 $B$ 有关联（包括经典关联和量子关联）

条件熵

量子条件熵：

S (A | B) = S (ρ_{A B}) - S (ρ_{B})

与经典情况不同，量子条件熵可以是负数：

$S (A | B) < 0$ 表明存在量子纠缠
这种负性具有操作意义：它对应量子态合并（利用纠缠传输量子信息的能力）

量子保真度

定义

两个量子态 $ρ$ 和 $σ$ 之间的保真度（Fidelity）为：

F (ρ, σ) = {(Tr \sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}})}^{2}

对于纯态 $| ψ ⟩$ 和 $| ϕ ⟩$ ：

F (| ψ ⟩, | ϕ ⟩) = | ⟨ ψ | ϕ ⟩ |^{2}

对于纯态 $| ψ ⟩$ 和混合态 $ρ$ ：

F (| ψ ⟩, ρ) = ⟨ ψ | ρ | ψ ⟩

Uhlmann 定理

保真度可以用纯化表示：

F (ρ, σ) = max_{| ψ ⟩, | ϕ ⟩} | ⟨ ψ | ϕ ⟩ |^{2}

其中 $| ψ ⟩$ 和 $| ϕ ⟩$ 分别是 $ρ$ 和 $σ$ 的纯化。这提供了几何解释：保真度是两个态的任意纯化之间的最大重叠。

性质

1. 对称性： $F (ρ, σ) = F (σ, ρ)$

2. 界： $0 \leq F (ρ, σ) \leq 1$

$F = 1$ ：相同态（ $ρ = σ$ ）
$F = 0$ ：正交态

3. 张量积下的乘性：

F (ρ_{1} \otimes ρ_{2}, σ_{1} \otimes σ_{2}) = F (ρ_{1}, σ_{1}) \cdot F (ρ_{2}, σ_{2})

4. CPTP 映射下的单调性：

F (E (ρ), E (σ)) \geq F (ρ, σ)

量子通道不能降低保真度。

Bures 距离

Bures 距离与保真度相关：

D_{B} (ρ, σ) = \sqrt{2 (1 - \sqrt{F (ρ, σ)})}

它是密度矩阵空间上的真度量，满足三角不等式。

在 pyqpanda3 中计算

上面的公式都可以用 pyqpanda3.quantum_info.state_fidelity() 直接计算。该函数支持密度矩阵与态矢量两两组合的四种输入，密度矩阵用 Uhlmann 定义，态矢量用 $| ⟨ ψ_{2} | ψ_{1} ⟩ |^{2}$ ：

python

from pyqpanda3.quantum_info import state_fidelity

plus = [[0.5, 0.5], [0.5, 0.5]]   # |+><+|（密度矩阵）
zero = [[1.0, 0.0], [0.0, 0.0]]   # |0><0|

print(round(state_fidelity(plus, zero), 6))   # 0.5（上式 F(rho,sigma)）
print(round(state_fidelity(zero, [1.0, 0.0]), 6))   # 1.0（纯态与自身）

完整签名与 validate 参数说明见分析 API 参考。

距离度量

pyqpanda3 提供用于计算概率分布之间的 Hellinger 距离、Hellinger 保真度和 KL 散度的函数，以及量子态之间迹距离的理论定义。

Hellinger 距离

两个离散概率分布 $P$ 和 $Q$ 之间的 Hellinger 距离：

H (P, Q) = \frac{1}{\sqrt{2}} | \sqrt{P} - \sqrt{Q} |_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\sum_{x} {(\sqrt{P (x)} - \sqrt{Q (x)})}^{2}}

性质：

$0 \leq H (P, Q) \leq 1$
$H (P, Q) = 0 ⟺ P = Q$
对称性： $H (P, Q) = H (Q, P)$
与 Bhattacharyya 系数相关： $H = \sqrt{1 - B C (P, Q)}$

pyqpanda3 实现：

python

from pyqpanda3.quantum_info import hellinger_distance

# 使用整数键
p = {0: 0.5, 1: 0.3, 2: 0.2}
q = {0: 0.4, 1: 0.4, 2: 0.2}
print(hellinger_distance(p, q))  # 0.079851380615908

# 使用字符串键
p = {"00": 0.25, "01": 0.25, "10": 0.25, "11": 0.25}
q = {"00": 0.5, "01": 0.0, "10": 0.0, "11": 0.5}
print(hellinger_distance(p, q))  # 0.541196100146197

Hellinger 保真度

Hellinger 保真度从 Hellinger 距离导出：

F_{H} (P, Q) = {(1 - H (P, Q)^{2})}^{2} = {(\sum_{x} \sqrt{P (x) Q (x)})}^{2}

性质：

$0 \leq F_{H} (P, Q) \leq 1$
$F_{H} = 1 ⟺ P = Q$
与 Bhattacharyya 系数相关： $F_{H} = B C^{2}$

pyqpanda3 实现：

python

from pyqpanda3.quantum_info import hellinger_fidelity

p = {0: 0.5, 1: 0.5}
q = {0: 0.5, 1: 0.5}
fid = hellinger_fidelity(p, q)  # 1.0（相同分布）

Kullback-Leibler (KL) 散度

KL 散度衡量使用 $Q$ 代替 $P$ 时的信息增益：

离散分布：

D_{KL} (P | Q) = \sum_{x} P (x) \log_{2} \frac{P (x)}{Q (x)}

连续分布：

D_{KL} (p | q) = \int p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} d x

性质：

$D_{KL} (P | Q) \geq 0$ （Gibbs 不等式）
$D_{KL} (P | Q) = 0 ⟺ P = Q$ （几乎处处）
不对称：一般情况下 $D_{KL} (P | Q) \neq D_{KL} (Q | P)$
不是度量：不满足三角不等式

pyqpanda3 支持离散和连续 KL 散度：

python

from pyqpanda3.quantum_info import KL_divergence

# 离散分布（列表）
p = [0.5, 0.3, 0.2]
q = [0.4, 0.4, 0.2]
print(KL_divergence(p, q))  # 0.02526715392157057

# 连续分布（函数）
import numpy as np
print(KL_divergence(
    p_pdf=lambda x: np.exp(-x),  # 指数分布
    q_pdf=lambda x: np.exp(-x**2/2) / np.sqrt(2*np.pi),  # 高斯分布
    x_start=0.0,
    x_end=10.0,
    dx=1e-4
))  # 0.9166728583819906

迹距离

两个密度矩阵之间的迹距离（Trace Distance）：

T (ρ, σ) = \frac{1}{2} | ρ - σ |_{1} = \frac{1}{2} Tr \sqrt{(ρ - σ)^{†} (ρ - σ)}

性质：

$0 \leq T (ρ, σ) \leq 1$
真度量（对称、三角不等式）
与区分 $ρ$ 和 $σ$ 的最优概率相关：

P_{correct} = \frac{1 + T (ρ, σ)}{2}

对于量子比特： $T (ρ, σ) = \frac{1}{2} | {\vec{r}}_{ρ} - {\vec{r}}_{σ} |$ （Bloch 矢量间欧氏距离的一半）

距离度量比较

度量	类型	对称？	是度量？	范围
Hellinger 距离	经典分布	是	是	$[0, 1]$
Hellinger 保真度	经典分布	是	否	$[0, 1]$
KL 散度	经典分布	否	否	$[0, \infty)$
迹距离	量子态	是	是	$[0, 1]$
保真度	量子态	是	否	$[0, 1]$
Bures 距离	量子态	是	是	$[0, \sqrt{2}]$

关系：

1 - \sqrt{F (ρ, σ)} \leq T (ρ, σ) \leq \sqrt{1 - F (ρ, σ)}

T (ρ, σ) \leq D_{B} (ρ, σ) \leq \sqrt{2} \cdot T (ρ, σ)

量子通道表示

量子通道（CPTP 映射）可以用多种等价形式表示。pyqpanda3 的 quantum_info 模块提供五种可相互转换的表示。

Kraus 表示

E (ρ) = \sum_{i} K_{i} ρ K_{i}^{†}, \sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I

最直观的物理表示 — 每个 Kraus 算符 $K_{i}$ 代表一个以概率 $p_{i} = Tr (K_{i} ρ K_{i}^{†})$ 发生的"量子跃迁"。

pyqpanda3 类：Kraus

超算符（Liouville）表示

通道表示为作用在矢量化密度矩阵上的 $d^{2} \times d^{2}$ 矩阵：

vec (E (ρ)) = S \cdot vec (ρ)

矢量化 $vec (ρ)$ 将 $ρ$ 的列堆叠成矢量。超算符为：

S = \sum_{i} K_{i}^{*} \otimes K_{i}

其中 $K_{i}^{*}$ 是复共轭（不是伴随）。

pyqpanda3 类：SuperOp

Chi（过程矩阵）表示

通道在归一化 Pauli 基 ${P_{i} / \sqrt{d}}$ 中展开：

E (ρ) = \sum_{i, j} χ_{i j} P_{i} ρ P_{j}

$χ$ 矩阵（在某些文献中也称为"过程矩阵"）在 Pauli 基中完全表征通道。

pyqpanda3 类：Chi

Choi 矩阵表示

Choi 矩阵通过将通道作用于最大纠缠态的一半获得：

J (E) = (E \otimes I_{d}) (| Ω ⟩ ⟨ Ω |) = \sum_{i, j} | i ⟩ ⟨ j | \otimes E (| i ⟩ ⟨ j |)

其中 $| Ω ⟩ = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{i} | i ⟩ \otimes | i ⟩$ 。

Choi-Jamiolkowski 同构：CPTP 映射与满足 ${Tr}_{1} (J) = I$ 的半正定矩阵 $J$ 之间存在双射。

pyqpanda3 类：Choi

Pauli 传输矩阵（PTM）

PTM 在 Pauli 基中表示通道：

R_{i j} = \frac{1}{d} Tr (P_{i} \cdot E (P_{j}))

其中 ${P_{i}}$ 是归一化的 Pauli 算符（包括恒等）。对于任何保持厄米性的通道，PTM 是实值矩阵。

物理解释： $R_{i j}$ 告诉你当输入 Pauli $P_{j}$ 时，输出中出现多少 Pauli $P_{i}$ 。对于无噪声恒等通道， $R = I$ （恒等矩阵）。

pyqpanda3 类：PTM

转换关系

所有五种表示编码相同的信息，可以自由转换：

mermaid

graph TD
    K["Kraus<br/>K_i ρ K_i†"] -->|"reshape K_i"| S["SuperOp<br/>S 矩阵"]
    K -->|"Pauli 分解"| C["Chi<br/>χ 矩阵"]
    K -->|"J = Σ |i⟩⟨j| ⊗ E(|i⟩⟨j|)"| Ch["Choi<br/>J 矩阵"]
    K -->|"R_ij = Tr(P_i E(P_j))/d"| P["PTM<br/>R 矩阵"]

    S --> K
    S --> C
    S --> Ch
    S --> P

    C --> K
    C --> S
    C --> Ch
    C --> P

    Ch --> K
    Ch --> S
    Ch --> C
    Ch --> P

    P --> K
    P --> S
    P --> C
    P --> Ch

    style K fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style S fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32
    style C fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style Ch fill:#f3e5f5,stroke:#9c27b0
    style P fill:#ffebee,stroke:#c62828

在 pyqpanda3 中，转换通过从一个类构造另一个类完成：

python

from pyqpanda3.quantum_info import Kraus, Choi, SuperOp, Chi, PTM

# 从 Kraus 算符创建通道
kraus = Kraus([...])

# 转换为其他表示
choi = Choi(kraus)
superop = SuperOp(kraus)
chi = Chi(kraus)
ptm = PTM(kraus)

# 所有表示都可以演化量子态
from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix, StateVector
dm = DensityMatrix(...)
evolved = choi.evolve(dm)   # 返回 DensityMatrix
evolved = kraus.evolve(dm)  # 相同结果

表示比较

表示	大小	实值？	最适用于
Kraus	$r \times d \times d$	否（复数）	物理解释、噪声模型
SuperOp	$d^{2} \times d^{2}$	否（复数）	通道组合、矩阵运算
Chi	$d^{2} \times d^{2}$	否（复数）	过程层析
Choi	$d^{2} \times d^{2}$	否（复数）	半正定性检查、通道距离
PTM	$d^{2} \times d^{2}$	是	门基准测试、RB 分析

通道组合

通道通过其表示进行组合：

Kraus：组合 $E_{2} \circ E_{1}$ 的 Kraus 算符为 ${K_{i}^{(2)} K_{j}^{(1)}}_{i, j}$

SuperOp： $S_{E_{2} \circ E_{1}} = S_{E_{2}} \cdot S_{E_{1}}$ （矩阵乘法）

PTM： $R_{E_{2} \circ E_{1}} = R_{E_{2}} \cdot R_{E_{1}}$ （矩阵乘法，实值）

Choi： $J_{E_{2} \circ E_{1}} = (E_{2} \otimes I) (J_{E_{1}})$

通道距离与保真度

两个通道之间的菱形范数距离：

| E_{1} - E_{2} |_{⋄} = sup_{ρ} | (E_{1} \otimes I_{k}) (ρ) - (E_{2} \otimes I_{k}) (ρ) |_{1}

其中上确界遍历所有输入维度 $k$ 。菱形范数是量子通道的标准距离度量。

过程保真度：

F_{proc} (E, I) = \frac{1}{d^{2}} Tr (J_{E} J_{I})

这衡量通道 $E$ 与恒等 $I$ 的接近程度，与随机基准测试误差率相关。

总结

mermaid

graph TD
    QIT["量子信息理论"] --> States["态表示"]
    QIT --> Entropy["熵度量"]
    QIT --> Dist["距离度量"]
    QIT --> Channels["通道表示"]

    States --> SV["StateVector<br/>（纯态）"]
    States --> DM["DensityMatrix<br/>（混合态）"]

    Entropy --> VN["Von Neumann S(ρ)"]
    Entropy --> MI["互信息 I(A:B)"]
    Entropy --> EE["纠缠熵"]

    Dist --> HD["Hellinger 距离"]
    Dist --> HF["Hellinger 保真度"]
    Dist --> KL["KL 散度"]
    Dist --> TD["迹距离"]
    Dist --> QF["量子保真度"]

    Channels --> Kr["Kraus"]
    Channels --> SO["SuperOp"]
    Channels --> Ch["Chi"]
    Channels --> Co["Choi"]
    Channels --> PTM["PTM"]

    style QIT fill:#1a1a2e,stroke:#1a1a2e,fontColor:#ffffff
    style States fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style Entropy fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style Dist fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32
    style Channels fill:#f3e5f5,stroke:#9673a6

另请参阅

StateVector API — 纯态操作
DensityMatrix API — 混合态操作
量子通道 API — Kraus、Chi、Choi、SuperOp、PTM
分析函数 — Hellinger 距离、保真度、KL 散度
Matrix API — 通用矩阵操作
噪声模型理论 — 噪声通道如何影响量子态
变分算法 — 在 VQA 中使用量子信息

量子信息理论 ​

量子态表示 ​

态矢量 ​

密度矩阵 ​

纯态与混合态 ​

偏迹与约化态 ​

von Neumann 熵 ​

定义 ​

性质 ​

纠缠熵 ​

量子互信息 ​

条件熵 ​

量子保真度 ​

定义 ​

Uhlmann 定理 ​

性质 ​

Bures 距离 ​

在 pyqpanda3 中计算 ​

距离度量 ​

Hellinger 距离 ​

Hellinger 保真度 ​

Kullback-Leibler (KL) 散度 ​

迹距离 ​

距离度量比较 ​

量子通道表示 ​

Kraus 表示 ​

超算符（Liouville）表示 ​

Chi（过程矩阵）表示 ​

Choi 矩阵表示 ​

Pauli 传输矩阵（PTM） ​

转换关系 ​

表示比较 ​

通道组合 ​

通道距离与保真度 ​

总结 ​

另请参阅 ​

量子信息理论

量子态表示

态矢量

密度矩阵

纯态与混合态

偏迹与约化态

von Neumann 熵

定义

性质

纠缠熵

量子互信息

条件熵

量子保真度

定义

Uhlmann 定理

性质

Bures 距离

在 pyqpanda3 中计算

距离度量

Hellinger 距离

Hellinger 保真度

Kullback-Leibler (KL) 散度

迹距离

距离度量比较

量子通道表示

Kraus 表示

超算符（Liouville）表示

Chi（过程矩阵）表示

Choi 矩阵表示

Pauli 传输矩阵（PTM）

转换关系

表示比较

通道组合

通道距离与保真度

总结

另请参阅