变分量子算法

变分量子算法理论，包括变分原理、VQE、QAOA、贫瘠高原和梯度计算方法。本指南将理论基础与 pyqpanda3 的变分量子线路（VQC）框架联系起来。

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变分原理

Rayleigh-Ritz 变分原理

所有变分量子算法的基础是 Rayleigh-Ritz 变分原理：

对于任何参数化量子态 $|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩$ 和任何哈密顿量 $H$，能量的期望值提供了基态能量 $E_0$ 的上界：

$$⟨\psi (\overrightarrow{\theta })|H|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩\ge E_0$$

当且仅当 $|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩$ 是 $H$ 的基态时等号成立。

能量作为代价函数

变分原理允许我们将基态问题表述为优化问题：

$$E_0=\underset{\overrightarrow{\theta }}{min}⟨\psi (\overrightarrow{\theta })|H|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩$$

损失函数（能量）为：

$$L(\overrightarrow{\theta })=⟨\psi (\overrightarrow{\theta })|H|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩$$

这个损失函数具有重要性质：

• 非负曲率：$L(\overrightarrow{\theta })\ge E_0\ge {\lambda }_{min}(H)$
• 平滑性：对于解析拟设，$L$ 是 $\overrightarrow{\theta }$ 的平滑函数
• 可观测性：$L(\overrightarrow{\theta })$ 可以从量子测量中估计

变分量子线路作为尝试态

在 pyqpanda3 中，尝试态 $|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩$ 由变分量子线路（Variational Quantum Circuit, VQC） 制备 — 一种参数化量子线路：

$$|\psi (\overrightarrow{\theta })⟩=U(\overrightarrow{\theta })|0{⟩}^{\otimes n}$$

其中 $U(\overrightarrow{\theta })$ 是由 $\overrightarrow{\theta }=({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p)$ 参数化的幺正线路。

VQC 使用 pyqpanda3 的 VQCircuit 类构建：

from pyqpanda3.vqcircuit import VQCircuit
from pyqpanda3.core import RY, CNOT

# 构建硬件高效拟设
# set_Param 初始化线路的参数数组维度
vqc = VQCircuit()
vqc.set_Param([4])
vqc << RY(0, vqc.Param([0], "theta_0"))
vqc << RY(1, vqc.Param([1], "theta_1"))
vqc << CNOT(0, 1)
vqc << RY(0, vqc.Param([2], "theta_2"))
vqc << RY(1, vqc.Param([3], "theta_3"))

表达能力

VQC 的表达能力（Expressibility） 衡量其探索希尔伯特空间的能力。完美表达的拟设生成 Haar 均匀的幺正分布。表达能力较弱的拟设可能无法达到最优解。

表达能力通过偏离 Haar 分布的程度来衡量：

$$\mathcal{E}=D_{\text{KL}}(P_{\text{ansatz}}|P_{\text{Haar}})$$

设计良好的拟设在表达能力与可训练性之间取得平衡（避免贫瘠高原）。

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VQE — 变分量子特征值求解器

算法概述

变分量子特征值求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE）是一种用于寻找哈密顿量基态能量的混合量子-经典算法：

graph TD
    Start["定义哈密顿量 H"] --> Ansatz["选择拟设 VQCircuit"]
    Ansatz --> Init["初始化 θ"]
    Init --> Quantum["制备 |ψ(θ)⟩<br/>测量 ⟨H⟩"]
    Quantum --> Classical["经典优化器<br/>更新 θ"]
    Classical --> Converge{"收敛?"}
    Converge -->|否| Quantum
    Converge -->|是| Result["E₀ ≈ min ⟨H⟩"]

    style Quantum fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style Classical fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style Result fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32

哈密顿量分解

为了在量子计算机上测量能量，哈密顿量必须分解为可测量的 Pauli 字符串：

$$H=\sum _i{h}_i{P}_i$$

其中 $P_i\in \{I,X,Y,Z{\}}^{\otimes n}$ 是 Pauli 算符，$h_i$ 是系数。

能量期望值则为：

$$⟨H⟩=\sum _i{h}_i⟨P_i⟩$$

每个 $⟨P_i⟩$ 从量子测量中估计。对易的 Pauli 字符串可以同时测量（分组到同一测量线路中）。

pyqpanda3 提供：

• pyqpanda3.core.expval_hamiltonian(prog, hamiltonian, shots=1, model=..., used_threads=4, backend='CPU') — 从量子程序直接计算期望值
• pyqpanda3.core.expval_pauli_operator(prog, pauli_operator, shots=1, model=..., used_threads=4, backend='CPU') — Pauli 算符期望值

拟设设计策略

硬件高效拟设（Hardware-Efficient Ansatz）：

设计为匹配目标硬件的原生门集和连接性：

$$U(\overrightarrow{\theta })=\prod _{l=1}^L[\prod _{i}RY({\theta }_{l,i})]\cdot \text{ENTANGLE}$$

其中 ENTANGLE 是匹配硬件拓扑的 CNOT 门层。

• 优点：浅深度、原生门、较少 SWAP 开销
• 缺点：可能需要多层，容易陷入贫瘠高原

化学启发拟设（幺正耦合簇）：

基于幺正耦合簇单双激发（UCCSD）：

$$U(\overrightarrow{\theta })=e^{T(\overrightarrow{\theta })-T^{†}(\overrightarrow{\theta })}$$

其中 $T(\overrightarrow{\theta })=\sum _{ia}{\theta }_i^a{a}_a^{†}{a}_i+\sum _{i<j,a<b}{\theta }_{ij}^{ab}{a}_a^{†}{a}_b^{†}{a}_j{a}_i$

• 优点：物理动机明确、小分子参数少
• 缺点：线路深、需要 Trotter 化

自适应拟设（ADAPT-VQE）：

通过添加具有最大梯度的算符来迭代增长拟设：

$$U_{k+1}=e^{{\theta }_{k+1}{A}_{k+1}}{U}_k$$

其中 $A_{k+1}=\arg \underset{A\in \text{pool}}{max}|\frac{\partial E}{\partial {\theta }_A}{|}_{{\theta }_A=0}|$

• 优点：紧凑拟设、系统化构建
• 缺点：每步需要梯度池评估

经典优化

经典优化器更新参数以最小化能量：

$${\overrightarrow{\theta }}_{k+1}={\overrightarrow{\theta }}_k-\eta \mathrm{\nabla }L({\overrightarrow{\theta }}_k)$$

VQE 中常用的优化器：

优化器	类型	优点	缺点
梯度下降	一阶	简单、稳定	收敛慢
Adam	一阶（自适应）	快速、鲁棒	可能振荡
L-BFGS-B	拟牛顿	超线性收敛	对噪声梯度敏感
COBYLA	无导数	可处理噪声	参数多时慢
SPSA	随机	抗噪声、每步 $O(1)$ 次测量	收敛慢
SNOBFIT	代理模型	适合噪声景观	每次迭代代价高

测量噪声与统计误差

能量估计具有来自有限测量次数的统计不确定性：

$${\sigma }_E=\sqrt{\sum _i{h}_i^2\frac{\text{Var}(P_i)}{N_{\text{shots}}}}$$

其中 $\text{Var}(P_i)=1-⟨P_i{⟩}^2$ 为 Pauli 可观测量的方差。

经验法则：精度翻倍需要 $4\times$ 的测量次数（标准量子极限）。

收敛性分析

VQE 收敛取决于：

1. 拟设质量：拟设能否到达基态？
2. 优化器效率：优化器多快找到最小值？
3. 噪声抗性：噪声对能量估计的影响有多大？

VQE 通常被认为是噪声抗性的，因为：

• 变分原理仍然成立（含噪声的能量仍然是上界）
• 优化器可以部分补偿系统性噪声
• 测量噪声的误差条可以指导优化器

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QAOA — 量子近似优化算法

算法概述

QAOA 专为组合优化问题设计。给定比特串 $x\in \{0,1{\}}^n$ 上的代价函数 $C(x)$，QAOA 制备一个近似最小化 $C$ 的态：

$$|\overrightarrow{\gamma },\overrightarrow{\beta }⟩=\prod _{p=1}^P{e}^{-i{\beta }_p{H}_M}{e}^{-i{\gamma }_p{H}_C}|+{⟩}^{\otimes n}$$

其中：

• $H_C=\sum _{x}C(x)|x⟩⟨x|$ 是代价哈密顿量（在计算基中是对角的）
• $H_M=\sum _i{X}_i$ 是混合哈密顿量（Mixer Hamiltonian）
• $\overrightarrow{\gamma }=({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_P)$ 和 $\overrightarrow{\beta }=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_P)$ 是变分参数
• $P$ 是 QAOA 深度（交替层数）

graph LR
    Plus["|+⟩^⊗n"] --> L1["e^{-iγ₁H_C}"]
    L1 --> M1["e^{-iβ₁H_M}"]
    M1 --> L2["e^{-iγ₂H_C}"]
    L2 --> M2["e^{-iβ₂H_M}"]
    M2 --> Dot["..."]
    Dot --> LP["e^{-iγ_P H_C}"]
    LP --> MP["e^{-iβ_P H_M}"]
    MP --> Measure["测量<br/>⟨H_C⟩"]

    style L1 fill:#f8cecc,stroke:#b85450
    style L2 fill:#f8cecc,stroke:#b85450
    style LP fill:#f8cecc,stroke:#b85450
    style M1 fill:#dae8fc,stroke:#6c8ebf
    style M2 fill:#dae8fc,stroke:#6c8ebf
    style MP fill:#dae8fc,stroke:#6c8ebf

MaxCut 示例

QAOA 的典型应用是 MaxCut。给定图 $G=(V,E)$：

代价哈密顿量：

$$H_C=\sum _{(i,j)\in E}\frac{1}{2}(I-Z_i{Z}_j)$$

这为 Z 值不同的顶点的边分配能量 $-1$（即在不同分区中），为同一分区的边分配能量 $+1$。

混合哈密顿量：

$$H_M=\sum _{i\in V}{X}_i$$

QAOA 线路构建：

每个代价层 $e^{-i{\gamma }_p{H}_C}$ 分解为 RZZ 门：

$$e^{-i{\gamma }_p{H}_C}=\prod _{(i,j)\in E}{e}^{i{\gamma }_p{Z}_i{Z}_j/2}$$

每个混合层 $e^{-i{\beta }_p{H}_M}$ 分解为 RX 门：

$$e^{-i{\beta }_p{H}_M}=\prod _i{e}^{-i{\beta }_p{X}_i}=\prod _{i}RX(2{\beta }_p{)}_i$$

近似比

近似比衡量 QAOA 的质量：

$$\alpha =\frac{⟨H_C{⟩}_{\text{QAOA}}}{\text{opt}(H_C)}$$

• $P=1$：对于 3-正则图上的 MaxCut，$\alpha =0.6924$（由 QAOA 理论保证）
• $P\to \mathrm{\infty }$：$\alpha \to 1$（QAOA 收敛到最优）
• 在实践中，$P=5$ 到 $20$ 通常可实现 $\alpha >0.9$

QAOA 变体

变体	描述	优势
标准 QAOA	固定深度 $P$，优化 $\overrightarrow{\gamma },\overrightarrow{\beta }$	理论保证
热启动 QAOA	从经典解初始化	更好的初始点
递归 QAOA	迭代固定量子比特	减小问题规模
多角度 QAOA	每个门不同角度	更具表达力
带约束的 QAOA	$H_C$ 中的惩罚项	处理约束问题

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贫瘠高原

梯度消失问题

贫瘠高原（Barren Plateaus） 在代价函数的梯度随量子比特数量指数级消失时出现：

$$\text{Var}\left[\frac{\partial L}{\partial {\theta }_i}\right]\in O\left(\frac{1}{2^n}\right)$$

这意味着对于 $n$ 个量子比特的系统，梯度是指数级小的，使优化变得不可行。

graph TD
    Shallow["浅线路<br/>（少量参数）"] --> Trainable["可训练景观<br/>大梯度"]
    Deep["深线路<br/>（大量参数）"] --> Barren["贫瘠高原<br/>指数级小梯度"]

    Expressible["高表达能力"] --> Barren
    Entangled["高纠缠"] --> Barren
    Noise["硬件噪声"] --> Barren

    Local["局部代价函数"] --> Avoid["避免贫瘠高原"]
    Structured["结构化拟设"] --> Avoid
    Parameters["精心初始化"] --> Avoid

    style Trainable fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32
    style Barren fill:#ffebee,stroke:#c62828
    style Avoid fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0

贫瘠高原的成因

1. 表达能力引起的：高表达能力的拟设覆盖整个希尔伯特空间，倾向于将代价函数值集中在均值附近，使景观平坦化。

2. 纠缠引起的：深度纠缠线路产生全局态，其中局部参数变化的影响呈指数级减小。

3. 噪声引起的：硬件噪声通过将所有输出驱动到最大混合态来平坦化代价景观。

4. 全局代价函数：依赖所有量子比特的代价函数（如全局保真度）即使对于浅线路也会出现贫瘠高原。

缓解策略

1. 局部代价函数：

将全局代价函数替换为局部代价函数：

$$L_{\text{global}}=1-⟨\psi |U_{\text{target}}^{†}O{U}_{\text{target}}|\psi ⟩$$$$L_{\text{local}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-⟨\psi |U_{\text{target}}^{†}{O}_i{U}_{\text{target}}|\psi ⟩)$$

局部代价函数的梯度以多项式而非指数形式消失。

2. 结构化拟设：

使用内置结构的拟设（如保对称性、受问题启发的）：

• 组合优化的 QAOA 拟设
• 化学的 UCCSD 拟设
• 有限深度的硬件高效拟设

3. 参数初始化：

• 恒等初始化：从接近恒等线路的参数开始（$\theta \approx 0$）
• 逐层训练：一次训练一层，逐步添加层
• 经典预训练：使用经典优化找到好的初始点

4. 梯度保持架构：

• 使用梯度大小可证明有下界的线路
• 例如：量子卷积神经网络（QCNN）、某些层次化线路

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梯度计算方法

概述

计算期望值 $⟨H{⟩}_{\overrightarrow{\theta }}$ 对参数 $\overrightarrow{\theta }$ 的梯度是优化变分量子算法的核心。有多种方法，各有不同的权衡：

graph TD
    Grad["梯度方法"] --> PS["参数平移规则"]
    Grad --> AD["伴随微分"]
    Grad --> FD["有限差分"]
    Grad --> LS["幺正线性组合"]

    PS -->|"每个参数 2 次线路评估"| Exact1["精确梯度"]
    AD -->|"总共 2 次线路评估"| Exact2["精确梯度"]
    FD -->|"每个参数 2 次线路评估"| Approx["近似梯度"]
    LS -->|"O(1) 次线路评估"| Exact3["精确（需辅助比特）"]

    style Exact1 fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32
    style Exact2 fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32
    style Exact3 fill:#c8e6c9,stroke:#2e7d32
    style Approx fill:#fff3e0,stroke:#e65100

参数平移规则

参数平移规则通过每个参数两次线路评估提供精确梯度：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}⟨H⟩=\frac{⟨H{⟩}_{{\theta }_i+s}-⟨H{⟩}_{{\theta }_i-s}}{2\sin (s)}$$

其中 $s$ 是平移值（通常 $s=\pi /2$）。

对于特征值为 $\pm r/2$ 的生成元 $G$（如 Pauli 生成元）：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}⟨H⟩=r(⟨H{⟩}_{{\theta }_i+\pi /(2r)}-⟨H{⟩}_{{\theta }_i-\pi /(2r)})$$

开销：$p$ 个参数需要 $2p$ 次线路评估。

优势：

• 精确梯度（无近似误差）
• 硬件兼容（只需前向评估）
• 可与测量噪声配合使用（仅有统计误差）

伴随微分

伴随微分以 $O(1)$ 次线路评估计算梯度，与参数数量无关。这是 pyqpanda3 的 ADJOINT_DIFF 使用的方法：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}⟨H⟩=\text{Re}[⟨{\varphi }_L|\frac{\partial U}{\partial {\theta }_i}|{\varphi }_R⟩]$$

其中 $|{\varphi }_L⟩=U^{†}|{\psi }_{\text{meas}}⟩$，$|{\varphi }_R⟩=U|{\psi }_{\text{init}}⟩$。

算法（Jones & Gacon, 2020）：

1. 前向传播：计算 $|{\varphi }_R⟩=U(\overrightarrow{\theta })|0⟩$
2. 反向传播：逆序施加门，计算内积
3. 总计：无论参数数量多少，只需 2 次线路评估（一次前向，一次反向）

开销：总共 2 次线路评估。

优势：

• 对于大参数量显著加速：$O(1)$ 相比 $O(2p)$
• 精确梯度
• 非常适合基于仿真的优化

限制：

• 需要存储中间态矢量（内存：$O(2^n)$）
• 仅适用于态矢量仿真，不适用于硬件测量
• 依赖于模拟器的实现

在 pyqpanda3 中的使用：

from pyqpanda3.vqcircuit import VQCircuit, DiffMethod
from pyqpanda3.hamiltonian import Hamiltonian
from pyqpanda3.core import RY, CNOT
import numpy as np

# 构建一个包含 4 个参数的简单拟设
vqc = VQCircuit()
vqc.set_Param([4])
vqc << RY(0, vqc.Param([0], "theta_0"))
vqc << RY(1, vqc.Param([1], "theta_1"))
vqc << CNOT(0, 1)
vqc << RY(0, vqc.Param([2], "theta_2"))
vqc << RY(1, vqc.Param([3], "theta_3"))

params = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
observable = Hamiltonian({"Z0 Z1": 1.0, "X0": 0.5})

# 使用伴随微分获取梯度
gradients = vqc.get_gradients(params, observable, DiffMethod.ADJOINT_DIFF)
# → ResGradients 对象，包含全部 4 个参数的梯度

# 同时获取梯度和期望值
result = vqc.get_gradients_and_expectation(params, observable, DiffMethod.ADJOINT_DIFF)
expectation = result.expectation_val()
# → expectation ≈ 0.957（随参数变化）
grads = result.gradients()
# → grads ≈ [0.202, -0.491, 0.265, -0.511]（随参数变化）

有限差分

最简单的梯度近似：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}⟨H⟩\approx \frac{⟨H{⟩}_{{\theta }_i+h}-⟨H{⟩}_{{\theta }_i-h}}{2h}$$

开销：$p$ 个参数需要 $2p$ 次线路评估。

缺点：

• 近似误差 $\sim O(h^2)$
• 选择 $h$：太小 → 被噪声主导；太大 → 近似误差
• 由于测量噪声敏感性，不推荐用于量子计算

幺正线性组合（LCU）

使用辅助量子比特的高级方法：

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}⟨H⟩=\text{Re}[⟨0|V_i^{†}{U}^{†}HU{V}_i|0⟩]$$

可以通过 Hadamard 测试或迭代 QPE 实现，但需要辅助量子比特和门的受控版本。

方法比较

方法	线路评估次数	精确？	硬件兼容？	内存
参数平移	$2p$	是	是	$O(n)$ 量子比特
伴随微分（ADJOINT_DIFF）	2	是	否（仅仿真）	$O(2^n)$ 态矢量
有限差分	$2p$	否（$O(h^2)$）	是	$O(n)$ 量子比特
LCU	$O(1)$ + 辅助比特	是	是（需辅助比特）	$O(n+k)$ 量子比特

对于 pyqpanda3 仿真，推荐使用 ADJOINT_DIFF，因为它具有 $O(1)$ 的扩展性。对于硬件实验，参数平移规则是标准选择，但 pyqpanda3 当前的 DiffMethod 枚举仅提供 ADJOINT_DIFF 作为可用的微分方法。

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pyqpanda3 中的参数管理

多维参数

pyqpanda3 通过 set_Param() 和 Param() 方法支持多维参数数组：

vqc = VQCircuit()

# 设置参数维度：例如 3 层 × 4 个参数
vqc.set_Param([3, 4], ["layer", "param"])

# 访问特定参数元素
theta_00 = vqc.Param([0, 0], "theta_00")  # 第 0 层，第 0 个参数
theta_12 = vqc.Param([1, 2], "theta_12")  # 第 1 层，第 2 个参数

这对于以下场景很有用：

• 批量优化：同时评估多组参数的梯度
• 结构化拟设：将参数映射到物理结构（如层 × 量子比特）
• 迁移学习：在线路块之间共享参数

批量梯度计算

对于 $N$ 组参数，pyqpanda3 提供批量梯度计算：

import numpy as np
from pyqpanda3.vqcircuit import VQCircuit, DiffMethod
from pyqpanda3.hamiltonian import Hamiltonian
from pyqpanda3.core import RY, CNOT

# 构建与上文相同的拟设
vqc = VQCircuit()
vqc.set_Param([4])
vqc << RY(0, vqc.Param([0], "theta_0"))
vqc << RY(1, vqc.Param([1], "theta_1"))
vqc << CNOT(0, 1)
vqc << RY(0, vqc.Param([2], "theta_2"))
vqc << RY(1, vqc.Param([3], "theta_3"))

observable = Hamiltonian({"Z0 Z1": 1.0, "X0": 0.5})

# 单组参数
params_1d = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
grads = vqc.get_gradients(params_1d, observable, DiffMethod.ADJOINT_DIFF)
# → ResGradients（1 组梯度）

# N 组参数（扁平数组，行优先顺序）
params_flat = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8])
N = 2
grads_n = vqc.get_gradients(params_flat, observable, N, DiffMethod.ADJOINT_DIFF)
# → ResNGradients（N 组梯度）

结果类

类	方法	返回值
ResGradients	get_gradients(params, H, diff)	1 组参数的梯度
ResNGradients	get_gradients(params, H, N, diff)	N 组参数的梯度
ResGradientsAndExpectation	get_gradients_and_expectation(params, H, diff)	1 组的梯度 + 期望值
ResNResGradientsAndExpectation	get_gradients_and_expectation(params, H, N, diff)	N 组的梯度 + 期望值

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实践考虑

拟设选择指南

问题类型	推荐拟设	理由
分子基态	UCCSD / k-UpCCGSD	化学动机、系统性可改进
组合优化	QAOA	理论保证、结构化
通用优化	硬件高效	浅深度、硬件原生
量子机器学习	分层旋转 + 纠缠	表达能力、可训练
动力学模拟	Trotter 化演化	物理动机

优化器选择指南

场景	推荐优化器
仿真（精确梯度）	L-BFGS-B 配合伴随微分
含噪声仿真	Adam 配合学习率调度
硬件（测量噪声）	SPSA 或参数平移 + Adam
少量参数	COBYLA（无导数）
大量参数	Adam 或自然梯度方法

性能建议

1. 仿真时使用伴随微分：$O(1)$ 相比 $O(p)$ 梯度评估
2. 分组 Pauli 测量：对易的 Pauli 字符串可以同时测量
3. 使用 get_gradients_and_expectation：在单次调用中计算两者，比分别计算更高效
4. 从经典解热启动：从经典可解近似初始化参数
5. 监控收敛：同时跟踪能量和梯度范数；当梯度范数低于阈值时停止

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另请参阅

• VQCircuit API — 变分量子线路的完整 API
• DiffMethod — 微分方法枚举
• 梯度结果 — ResGradients 及相关类
• 哈密顿量 — 哈密顿量构建
• VQA 工作流图 — 可视化 VQA 优化循环
• 量子门理论 — 门基础知识
• 噪声模型理论 — 变分算法中的噪声