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量子态编码¶
简介¶
量子态编码是一个将经典信息转化为量子态的过程。在使用量子算法解决经典问题的过程中，量子态编码是非常重要的一步。比如在使用HHL算法解如下线性方程组时
需要将向量b编码至线路中。而大多数量子态编码都是以 \(\left|0\right\rangle\) 为基态进行制备，而制备后的经典信息则可以表现在量子线路的各个参数中。
本教程中我们将讨论四种量子编码的方式，包括基态编码、角度编码、振幅编码、IQP 编码。在QPanda中，我们内置了这四种量子编码方式至 Encode 类中。
基态编码¶
基态编码[1] basic_encode(const QVec &qubit,const std::string& data) 即是将一个 \(n\) 位的二进制字符串 \(x\) 转换为一个具有 \(n\) 个量子比特的系统的量子态 \(\left|x\right\rangle=\left|\psi\right\rangle\) 。其中 \(\left|\psi\right\rangle`为转换后的计算基态。
例如，当需要对一个长度为4的二进制字符串 :math:`1001\) 编码时，得到的结果即为 \(\left|1001\right\rangle\)。实现如下所示：
#include "QPanda.h"
#include "QAlg/Encode/Encode.h"
USING_QPANDA
int main()
{
// 构建全振幅虚拟机
auto qvm = new CPUQVM();
qvm->init();
string data = "1001";
QProg prog;
auto q = qvm->qAllocMany((int)data.size());
//实例化Encode类，并调用basic_encode接口
Encode encode_b;
encode_b.basic_encode(q, data);
prog << encode_b.get_circuit();
//进行概率测量
auto result = qvm->probRunDict(prog,encode_b.get_out_qubits(),-1);
for (auto val : result) {
std::cout << val.first <<':'<< val.second<< std::endl;
}
destroyQuantumMachine(qvm);
return 0;
}
运行结果：
0000:0 0001:0 0010:0 0011:0 0100:0 0101:0 0110:0 0111:0 1000:0 1001:1 1010:0 1011:0 1100:0 1101:0 1110:0 1111:0
角度编码¶
角度编码[1]即是利用旋转门 \(R_{x}\) , \(R_{y}\) , \(R_{z}\) 的旋转角度进行对经典信息的编码。而在QPanda中，我们提供了两种角度编码，分别为经典角度编码 angle_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data, const GateType &gate_type=GateType::RY_GATE) 与密集角度编码 dense_angle_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data) 两种方式。
其中经典角度编码则是将N个经典数据编码至N个量子比特上
其中 \(\left|x\right\rangle\) 即为所需编码的经典数据向量。但是由于一个qubit不仅可以加载角度信息，还可以加载相位信息，因此，我们完全可以将一个长度为N的经典数据编码至 \(\lceil N \rceil\) 个量子比特上。
其中，将两个数据分别编码至量子特的旋转角度 \(\cos \left(\pi x_{2 i-1}\right)|0\rangle\) 与相位信息中 \(e^{2 \pi i x_{2 i}} \sin \left(\pi x_{2 i-1}\right)|1\rangle\)。下面我们以 \(R_{y}\) 门编码一组角度 \([\pi,\pi]\) 为例， 介绍经典角度编码与密集角度编码。
#include "QPanda.h"
#include "QAlg/Encode/Encode.h"
USING_QPANDA
int main()
{
// 构建全振幅虚拟机
auto qvm = new CPUQVM();
qvm->init();
std::vector<double>data{PI,PI};
QProg prog;
auto q = qvm->qAllocMany((int)data.size());
//实例化Encode类，并调用angle_encode和dense_angle_encode接口
Encode encode_b;
encode_b.angle_encode(q, data);
//encode_b.dense_angle_encode(q, data);
prog << encode_b.get_circuit();
//进行概率测量
auto result = qvm->probRunDict(prog,encode_b.get_out_qubits(),-1);
for (auto val : result) {
std::cout << val.first <<':'<< val.second<< std::endl;
}
destroyQuantumMachine(qvm);
return 0;
}
运行结果：
00:1.4058e-65 01:3.7494e-33 10:3.7494e-33 11:1
可以发现，在经典角度编码中将经典数据向量 \(x\) 向 \(y\) 轴旋转了 \(\pi\)。而密集角度编码结果运行结果则需要调用 qvm.directly_run 接口，运行结果如下
(6.12323e-17,0) (-1,1.22465e-16)
振幅编码¶
振幅编码即是将一个长度为 \(N\) 的数据向量 \(x\) 编码至数量为 \(\lceil log_{2}N \rceil\) 的量子比特的振幅上，具体公式如下：
然而，可以发现由于处于纯态的量子系统的迹是为1的，所以我们会对数据进行归一化检测。 同时，一个编码算法需要考虑的通常有三点，分别为编码线路的深度，宽度(qubit数量)，以及CNOT门的数量。因此，对应以上三点，在QPanda中也提供了不同的编码方法。同时根据数据形式的不同也可分为密集数据编码和稀疏数据编码。
密集数据编码¶
Top-down振幅编码¶
Top-down[2]的编码方式 amplitude_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data)，顾名思义，即是将数据向量先进行处理，得到对应的角度树，并从角度树的根节点开始，依次向下进行编码，如下图所示：
这种编码方式具有 \(O(\lceil log_{2} N \rceil)\) 的线路宽度，以及 \(O(n)\) 的线路深度。
Bottom-top振幅编码¶
与Top-down编码方式相反，Bottom-top[2] dc_amplitude_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data) 通过 \(O(n)\) 的宽度构建一个 \(O(\lceil log_{2} N \rceil)\) 深度的量子线路。
其中，角度树中最左子树( \(\alpha_{0}\) , \(\alpha_{1}\) , \(\alpha_{3}\) )对应的量子比特为输出比特，其余为辅助比特。构建形式如下图所示：
其中，level1与level2对应的量子逻辑门为受控SWAP门，其作用为交换辅助比特与输出比特量子态。
双向振幅编码¶
双向振幅编码[2] bid_amplitude_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data, const int split=0) 则是综合了Top-down和Bottom-top两种编码方式，即可通过参数 \(split\) 控制决定其线路深度与宽度。
其线路宽度为 \(O_{w}\left(2^{split}+\log _{2}^{2}(N)-split^{2}\right)\) ，线路宽度为 \(O_{d}\left((split+1) \frac{N}{2^{split}}\right)\) ，而在我们QPanda中的接口默认为 \(n/2\)。
从 \(O_{w}\) 和 \(O_{d}\) 的公式可以看出当split为1时，则为Bottom-top振幅编码，当spilt为n时则为Top-down振幅编码。
基于schmdit分解振幅编码¶
如Top-down振幅编码所示，使用 \(\lceil log_{2} N \rceil\) 个量子比特编码长度为 ：\(N\) 的经典数据大约需要 \(2^{2n}\) 个受控旋转门，这极大的降低了量子线路的
保真度，然而基于schmdit分解振幅编码[3] schmidt_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data) 可以有效降低线路中的受控旋转门数量。首先，一个纯态 \(|\psi\rangle\) 可以被表示为如下形式：
进一步，可以表示为：
其中，\(\left|e_{i}\right\rangle \in \mathbb{C}^{m},\left|f_{j}\right\rangle \in \mathbb{C}^{n}\)。而 \(C\) 可以进行奇异值分解(svd) \(C=U \Sigma V^{\dagger}\), 通过以上公式，我们可以得出 \(\sigma_{i i}=\lambda_{i}\) ， \(\left|\alpha_{i}\right\rangle=U\left|e_{i}\right\rangle\) ， \(\left|\beta_{i}\right\rangle=V^{\dagger}\left|f_{i}\right\rangle\), 其中，\(\sigma_{i i}\) 则是 \(C\) 的奇异值。线路图构建如下：
其中，\(U\) , \(V^{\dagger}\) 均可以通过QPanda中的 matrix_decompose 接口分解为单双门集合, init门则是用于将 \(\sigma_{i i}\) 编码至线路的振幅。很明显，这个过程是一个不断递归的
过程，直至 \(\sigma_{i i}\) 的数量小于2时，将其编码至一个量子比特的振幅上。
稀疏数据编码¶
上述编码方式均用于密集数据编码，而当我们所需编码的数据为稀疏数据时，使用以上编码方式将无疑增加的线路的深度，这显然是不合适的。 因此，针对于稀疏数据，QPanda中提供了3种稀疏数据编码方式。
双稀疏量子态编码¶
双稀疏量子态编码[4] ds_quantum_state_preparation(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data) 通过利用 \(n\) 个辅助比特辅助构建线路。我们以编码 \(|001\rangle\) 为例，如下图所示：
其中，\(|\mu\rangle\) 为辅助寄存器用以作用旋转门，并受输出寄存器 \(|m\rangle\) 控制，而当所需编码的字符下标的1的个数较多时，则需要作用多控门，而为了减少消除线路中多控门的数量，我们 通过增加一部分辅助寄存器，并利用Toffoli门进行分解，其原理如下图所示：
矩阵乘积态(MPS)近似编码¶
MPS近似编码[5]
approx_mps_encode(const QVec &q, const vector<T>& data, const int &layers = 3, const int &step = 100)是一种利用矩阵乘积态的低秩表达近似分布制备算法，可以通过一种较少的CNOT的门完成对分布的表达， 并且这种表达是一种近邻接形式，因此可以直接作用于芯片，且双门个数的减少，也有利于增加分布制备的成功率，量子线路图如下所示。
可以发现该函数是一个模板函数，因此支持多种类型数据制备（float，double，complex），其中layer指的是使用矩阵乘积态近似的层数，step是指通过环境张量优化的迭代次数，环境张量的数学表达如下：
其中， \(\operatorname{Tr}_{\bar{U}_m}\) 指的是不与 \(U_m\) 相互作用的量子比特索引上的偏迹，环境张量 \(\hat{\mathcal{F}}_m\) 则被表示为一个4x4的矩阵，在实际中可以通过从量子线路中移除 \(U_m\) 并收缩剩余的张量来计算(见下图)，并同时始终保持MPS结构。 最后，为了适配芯片的拓扑结构，该制备算法的 \(chi\) 均为2。
sparse_isometry编码¶
sparse_isometry编码[6] sparse_isometry(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data) 不同于双稀疏量子态编码需要辅助比特去构建线路。 sparse_isometry编码首先通过将长度为 \(N\) 稀疏数据向量中的非0元素 \(x\)
统一编码至前 \(\lceil log_2len(x) \rceil\) 个量子比特上，后通过受控X门对其进行受控转化。其线路构建如下图所示：
其中，\(n+m=\lceil log_2N \rceil\) \(|\alpha\rangle\) 为 \(\lceil log_2len(x) \rceil\) 个非0元素的编码encode模块， 而 \(|\beta\rangle\) 则为剩余qubit。 其中transform模块则是转化模块。
多项式稀疏量子态编码¶
多项式稀疏量子态编码[7] efficient_sparse(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data) 是一种稀疏数据向量中的非0元素个数与qubit个数成线性关系的稀疏数据编码方式。其线路编码深度为 \(O\left(|S|^{2} \log (|S|) n\right)\) 。
其中，\(|S|\) 为非0元素个数，\(n\) 为所需qubit个数，即为 \(\lceil log_2N \rceil\) , \(N\) 为稀疏数据长度。下面以编码 \(|x\rangle=1/\sqrt{3}(|001\rangle+|100\rangle+|111\rangle)\) 为例，其线路图构建如下：
其中，F门是将 \(|0\rangle\) 映射到 \(1/\sqrt{3}|0\rangle+1/\sqrt{3}|1\rangle\) ，而G门则是将 \(|0\rangle\) 映射到 \(1/\sqrt{3}|0\rangle+2/\sqrt{3}|1\rangle\)。 由于多种振幅编码振幅编码结果是一致的。所以，这里我们以多项式稀疏量子态编码为例介绍，示例如下：
#include "QPanda.h"
#include "QAlg/Encode/Encode.h"
USING_QPANDA
int main()
{
auto qvm = new CPUQVM();
qvm->init();
QProg prog;
auto q = qvm->qAllocMany(3);
Encode encode_b;
std::vector<double>data{ 0, 1 / sqrt(3), 0, 0, 0, 0, 1 / sqrt(3), 1 / sqrt(3) };
encode_b.efficient_sparse(q, data);
prog << encode_b.get_circuit() << BARRIER(q);
QVec out_qubits = encode_b.get_out_qubits();
auto result = qvm->probRunDict(prog,out_qubits,-1);
for (auto& val : result) {
std::cout << val.first << ":" << val.second << std::endl;
}
destroyQuantumMachine(qvm);
return 0;
}
运行结果：
000:0 001:0.333333 010:0 011:0 100:0 101:0 110:0.333333 111:0.333333
备注
amplitude_encode ， ds_quantum_state_preparation ， approx_mps_encode ， efficient_sparse ， sparse_isometry 不仅支持double类型数据编码，也支持complex类型数据编码。
IQP编码¶
IQP编码[8]是一种应用于量子机器学习的编码方法。将一个经典数据x编码到
iqp_encode(const QVec &qubit, const std::vector<double> &data, const std::vector<std::pair<int, int>> &control_vector = {}, const bool &inverse=false, const int &repeats = 1)
其中， \(r\) 表示量子线路的深度，也就是 \(\mathrm{U}_{\mathrm{Z}}(\mathbf{x}) \mathrm{H}^{\otimes n}\) 重复的次数。\(\mathrm{H}^{\otimes n}\) 是一层作用在所有量子比特上的Hadamard门。其中， \(\mathrm{U}_\mathrm{Z}\) 为
这里的 \(S\) 是一个集合，对于这个集合中的每一对量子比特，我们都需要对它们作用 \(R_{ZZ}\) 门。\(R_{ZZ}\) 门的构建形式如下：
下面我们以编码 \(data=[-1.3, 1.8, 2.6, -0.15]\) 为例介绍：
#include "QPanda.h"
#include "QAlg/Encode/Encode.h"
USING_QPANDA
int main()
{
auto qvm = new CPUQVM();
qvm->init();
std::vector<double>data{ -1.3, 1.8, 2.6, -0.15 };
QProg prog;
auto q = qvm->qAllocMany(data.size());
Encode encode_b;
//调用iqp_encode接口
encode_b.iqp_encode(q, data);
prog << encode_b.get_circuit() << BARRIER(q);
QVec out_qubits = encode_b.get_out_qubits();
//获取量子态
qvm->directlyRun(prog);
auto result = qvm->getQState();
int k = 0;
for (auto &val : result)
{
double temp = k >= (int)data.size() ? 0 : data[k];
std::cout << val << endl;
++k;
}
destroyQuantumMachine(qvm);
return 0;
}
运行结果:
(-0.192558,-0.159441) (0.245349,0.0479965) (-0.0297304,0.248226) (-0.229121,0.100017) (-0.0672583,-0.240783) (0.174177,0.179339) (0.177728,-0.17582) (0.241597,0.0642701) (-0.247133,-0.0377532) (0.235115,-0.084976) (0.102122,0.228191) (-0.145097,0.203585) (-0.00809583,-0.249869) (0.126555,0.215601) (0.214427,-0.128534) (0.219396,0.119856)
参考文献¶
[1] Schuld, Maria. "Quantum machine learning models are kernel methods."[J] arXiv:2101.11020 (2021).
[2] Araujo I F, Park D K, Ludermir T B, et al. "Configurable sublinear circuits for quantum state preparation."[J]. arXiv preprint arXiv:2108.10182, 2021.
[3] Ghosh K. "Encoding classical data into a quantum computer"[J]. arXiv preprint arXiv:2107.09155, 2021.
[4] de Veras T M L, da Silva L D, da Silva A J. "Double sparse quantum state preparation"[J]. arXiv preprint arXiv:2108.13527, 2021.
[5] Rudolph M S, Chen J, Miller J, et al. Decomposition of matrix product states into shallow quantum circuits[J]. arXiv preprint arXiv:2209.00595, 2022.
[6] Malvetti E, Iten R, Colbeck R. "Quantum circuits for sparse isometries"[J]. Quantum, 2021, 5: 412.
[7] N. Gleinig and T. Hoefler, "An Efficient Algorithm for Sparse Quantum State Preparation," 2021 58th ACM/IEEE Design Automation Conference (DAC), 2021, pp. 433-438, doi: 10.1109/DAC18074.2021.9586240.
[8] Havlíček, Vojtěch, et al. "Supervised learning with quantum-enhanced feature spaces." Nature 567.7747 (2019): 209-212.