密度矩阵

目录

• 简介
• 在 QPanda3 量子信息模块中
  • 构造 DensityMatrix 对象
    • 默认构造函数
    • 指定量子比特总数
    • 复数数组作为构造函数入参
    • 使用另一个DensityMatrix对象构造
    • 构造态矢量对应的密度矩阵
  • 获取内部数据
    • 获取numpy.ndarray类型的内部数据
    • 获取矩阵元素
  • 获取纯度
  • 获取态矢量
  • 使用量子线路演化
    • 无更新演化
    • 演化并更新
  • 布尔函数
    • 合法性验证
    • 判等

上一章: 变分量子线路

下一章: 态矢量

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简介

密度矩阵是量子力学中的一个重要概念，用于描述量子系统的状态，特别是在系统与环境发生相互作用的情况下。以下是密度矩阵在量子领域的详细介绍：

密度矩阵（又称密度算子）是一个具有迹为 1、平方迹小于或等于 1 的厄米矩阵。在量子力学中，密度矩阵用于表示系统处于多个量子态的概率叠加。量子系统的密度矩阵可以表示为 \( \rho=\sum_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|\)，其中 \(p_i\) 是系统处于状态 \(|\psi_i\rangle\) 的概率，满足 \(p_i \geq 0\) 且 \(\sum_i\) \(p_i=1 \)，即归一化条件。

在 QPanda3 量子信息模块中

QPanda3 量子信息模块使用 DensityMatrix 类来抽象并模拟密度矩阵。

构造 DensityMatrix 对象

API文档链接

默认构造函数

默认构造一个仅包含一个量子比特且当前状态为全 0 的量子系统的密度矩阵。

在内部张量积操作中，量子比特索引值较大的作为左操作数。例如，对由 \(q[0]\)、 \(q[1]\) 和 \(q[2]\) 组成的量子系统执行张量积操作时，结果对应于 \(\left | q[2] \right \rangle \otimes \left | q[1] \right \rangle \otimes \left | q[0] \right \rangle \)。

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
# Construct a DensityMatrix object
dm = DensityMatrix()
# Print result
print(dm)

执行结果如下所示：

[[1.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j]]  

指定量子比特总数

指定量子系统中的量子比特总数，并生成当前所有量子比特状态均为 0 的密度矩阵。

在内部张量积操作中，量子比特索引值较大的作为左操作数。例如，对由 \(q[0]\)、 \(q[1]\) 和 \(q[2]\) 组成的量子系统执行张量积操作时，结果对应于 \(\left | q[2] \right \rangle \otimes \left | q[1] \right \rangle \otimes \left | q[0] \right \rangle \)。

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
# Construct a DensityMatrix object
dm = DensityMatrix(3)
# Print result
print(dm)

执行结果如下所示：

[[1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]]

复数数组作为构造函数入参

基于输入的二维复数数组构造密度矩阵。如果给定的二维复数数组不满足迹为 1 且正定的条件，则会抛出异常。如果数组中的元素数量不是 2 的幂，则会自动扩展至最接近的 2 的幂，并尽可能少地扩展元素数量。

在内部张量积操作中，量子比特索引值较大的作为左操作数。例如，对由 \(q[0]\)、 \(q[1]\) 和 \(q[2]\) 组成的量子系统执行张量积操作时，结果对应于 \(\left | q[2] \right \rangle \otimes \left | q[1] \right \rangle \otimes \left | q[0] \right \rangle \)。

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
import numpy as np
# Prepare a complex array
data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j, 0.12215589 + 0.06893592j, - 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j, 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j, - 0.251278 + 0.09109501j, 0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j, 0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
    )
# Construct a DensityMatrix object
dm = DensityMatrix(data)
# Print result
print(dm)

执行结果如下所示：

[[ 0.18056413+0.j          0.12215589+0.06893592j -0.05337882-0.06077268j
  -0.06164719-0.00112235j]
 [ 0.12215589-0.06893592j  0.38670196+0.j         -0.251278  -0.09109501j
   0.11033526+0.04016816j]
 [-0.05337882+0.06077268j -0.251278  +0.09109501j  0.26018725+0.j
  -0.14253993+0.02027215j]
 [-0.06164719+0.00112235j  0.11033526-0.04016816j -0.14253993-0.02027215j
   0.17254666+0.j        ]]

使用另一个DensityMatrix对象构造

基于已有的 DensityMatrix 对象构造新的 DensityMatrix 对象。

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
import numpy as np
# Prepare a complex array
data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j, 0.12215589 + 0.06893592j, - 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j, 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j, - 0.251278 + 0.09109501j, 0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j, 0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
    )
# Construct a DensityMatrix object
dm = DensityMatrix(data)
# Construct another DensityMatrix object
dm2 = DensityMatrix(dm)
# Print result
print(dm2)

执行结果如下所示：

[[ 0.18056413+0.j          0.12215589+0.06893592j -0.05337882-0.06077268j
  -0.06164719-0.00112235j]
 [ 0.12215589-0.06893592j  0.38670196+0.j         -0.251278  -0.09109501j
   0.11033526+0.04016816j]
 [-0.05337882+0.06077268j -0.251278  +0.09109501j  0.26018725+0.j
  -0.14253993+0.02027215j]
 [-0.06164719+0.00112235j  0.11033526-0.04016816j -0.14253993-0.02027215j
   0.17254666+0.j        ]]

构造态矢量对应的密度矩阵

基于已有的 StateVector 对象构造新的 DensityMatrix 对象。

Python

import numpy as np
from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
from pyqpanda3.quantum_info import StateVector
 
def test_construct_from_stv():
    # Construct a StateVector object
    stv = StateVector(np.array([1 + 1.j, 2 + 2.j, 3 + 3.j, 4 + 4.j, 5 + 5.j, 6 + 6.j, 7 + 7.j, 8 + 8.j]))
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(stv)
    # Print result
    print("dm:",dm)
 
if __name__ == "__main__":
    test_construct_from_stv()

执行结果如下所示：

dm: {
dm: [[0.00490196+0.j 0.00980392+0.j 0.01470588+0.j 0.01960784+0.j
  0.0245098 +0.j 0.02941176+0.j 0.03431373+0.j 0.03921569+0.j]
 [0.00980392+0.j 0.01960784+0.j 0.02941176+0.j 0.03921569+0.j
  0.04901961+0.j 0.05882353+0.j 0.06862745+0.j 0.07843137+0.j]
 [0.01470588+0.j 0.02941176+0.j 0.04411765+0.j 0.05882353+0.j
  0.07352941+0.j 0.08823529+0.j 0.10294118+0.j 0.11764706+0.j]
 [0.01960784+0.j 0.03921569+0.j 0.05882353+0.j 0.07843137+0.j
  0.09803922+0.j 0.11764706+0.j 0.1372549 +0.j 0.15686275+0.j]
 [0.0245098 +0.j 0.04901961+0.j 0.07352941+0.j 0.09803922+0.j
  0.12254902+0.j 0.14705882+0.j 0.17156863+0.j 0.19607843+0.j]
 [0.02941176+0.j 0.05882353+0.j 0.08823529+0.j 0.11764706+0.j
  0.14705882+0.j 0.17647059+0.j 0.20588235+0.j 0.23529412+0.j]
 [0.03431373+0.j 0.06862745+0.j 0.10294118+0.j 0.1372549 +0.j
  0.17156863+0.j 0.20588235+0.j 0.24019608+0.j 0.2745098 +0.j]
 [0.03921569+0.j 0.07843137+0.j 0.11764706+0.j 0.15686275+0.j
  0.19607843+0.j 0.23529412+0.j 0.2745098 +0.j 0.31372549+0.j]]

获取内部数据

获取numpy.ndarray类型的内部数据

获取密度矩阵的内部数据，并以 numpy.ndarray 的形式返回。

DensityMatrix.ndarray的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
import numpy as np
def test():
    # Prepare a complex array
    data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j  , 0.12215589 + 0.06893592j ,- 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j , 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j ,- 0.251278 + 0.09109501j,0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j  ,0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
 
    )
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(data)
    # Obtain internal data
    data = dm.ndarray()
    # Print result
    print("data:",data)
 
if __name__ == "__main__":
    test()

执行结果如下所示：

data: [[ 0.18056413+0.j          0.12215589+0.06893592j -0.05337882-0.06077268j
  -0.06164719-0.00112235j]
 [ 0.12215589-0.06893592j  0.38670196+0.j         -0.251278  -0.09109501j
   0.11033526+0.04016816j]
 [-0.05337882+0.06077268j -0.251278  +0.09109501j  0.26018725+0.j
  -0.14253993+0.02027215j]
 [-0.06164719+0.00112235j  0.11033526-0.04016816j -0.14253993-0.02027215j
   0.17254666+0.j        ]]

获取矩阵元素

根据矩阵的行索引和列索引获取内部数据的某个元素。

DensityMatrix.dim的API文档链接 DensityMatrix.at的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix,StateVector
import numpy as np
def test_dim_at():
    # Prepare a complex array
    data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j, 0.12215589 + 0.06893592j, - 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j, 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j, - 0.251278 + 0.09109501j, 0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j, 0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
    )
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(data)
 
    print("element in dm:")
    for i in range(dm.dim()):
        for j in range(dm.dim()): # using dim function obtain dim information
            print(dm.at(i,j)) # using at function to obtain internal data
 
if __name__ == "__main__":
    test_dim_at()

执行结果如下所示：

element in dm:
(0.18056413+0j)
(0.12215589+0.06893592j)
(-0.05337882-0.06077268j)
(-0.06164719-0.00112235j)
(0.12215589-0.06893592j)
(0.38670196+0j)
(-0.251278-0.09109501j)
(0.11033526+0.04016816j)
(-0.05337882+0.06077268j)
(-0.251278+0.09109501j)
(0.26018725+0j)
(-0.14253993+0.02027215j)
(-0.06164719+0.00112235j)
(0.11033526-0.04016816j)
(-0.14253993-0.02027215j)
(0.17254666+0j)

获取纯度

获取密度矩阵的纯度。

DensityMatrix.purity的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
import numpy as np
def test_purity():
    # Prepare a complex array
    data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j, 0.12215589 + 0.06893592j, - 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j, 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j, - 0.251278 + 0.09109501j, 0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j, 0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
    )
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(data)
    print("dm:", dm)
    # Obtain the purity of the density matrix
    purity = dm.purity()
    # Print result
    print("purity:",purity)
 
if __name__ == "__main__":
    test_purity()

执行结果如下所示：

dm: [[ 0.18056413+0.j          0.12215589+0.06893592j -0.05337882-0.06077268j  
  -0.06164719-0.00112235j]  
 [ 0.12215589-0.06893592j  0.38670196+0.j         -0.251278  -0.09109501j  
   0.11033526+0.04016816j]  
 [-0.05337882+0.06077268j -0.251278  +0.09109501j  0.26018725+0.j  
  -0.14253993+0.02027215j]  
 [-0.06164719+0.00112235j  0.11033526-0.04016816j -0.14253993-0.02027215j  
   0.17254666+0.j        ]]  
purity: (0.5515582694688418+0j)

获取态矢量

获取对应的态矢量。

DensityMatrix.to_statevector的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
def test_to_statevector():
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(3)
    # Obtain the corresponding state vector
    stv = dm.to_statevector()
    # Print result
    print("stv:",stv)
 
if __name__ == "__main__":
    test_to_statevector()

执行结果如下所示：

stv: [(1+0j), 0j, 0j, 0j, 0j, 0j, 0j, 0j]  

使用量子线路演化

使用量子线路 QCircuit 对密度矩阵进行演化。

无更新演化

使用量子线路 QCircuit 对密度矩阵进行演化，但不会更新原始 DensityMatrix 对象的内部数据；演化结果将作为新的 DensityMatrix 对象返回。

DensityMatrix.evolve的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
from pyqpanda3.core import QCircuit,X,SWAP,CP
def test_evolve():
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(3)
    # Construct a QCircuit object
    cir = QCircuit()
    cir << X(0)<<SWAP(1,2)<<CP(1,0,3.14)
    # evolve with qcircuit
    dm2 = dm.evolve(cir)
    # Print result
    print("dm2:",dm2)
 
if __name__ == "__main__":
    test_evolve()

执行结果如下所示：

dm2: [[0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]]  

演化并更新

使用量子线路 QCircuit 对密度矩阵进行演化，并更新原始 DensityMatrix 对象的内部数据。

DensityMatrix.update_by_evolve的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix,StateVector
from pyqpanda3.core import QCircuit,X,SWAP,CP
def test_update_by_evolve():
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(3)
    # Construct a QCircuit object
    cir = QCircuit()
    cir << X(0) << SWAP(1, 2) << CP(1, 0, 3.14)
    # evolve with qcircuit
    dm.update_by_evolve(cir)
    # Print result
    print("dm:", dm)
 
if __name__ == "__main__":
    test_update_by_evolve()

执行结果如下所示：

dm: [[0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]  
 [0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]]  

布尔函数

合法性验证

验证密度矩阵的内部数据是否合法。 这里的“合法”是指该矩阵是否满足半正定性，并且迹为 1 的要求。

DensityMatrix.is_valid的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
import numpy as np
def test_is_valid():
    # Prepare a complex array
    data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j, 0.12215589 + 0.06893592j, - 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j, 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j, - 0.251278 + 0.09109501j, 0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j, 0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
    )
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(data)
    # Print result
    print("is_valid:",dm.is_valid())
 
if __name__ == "__main__":
    test_is_valid()

执行结果如下所示：

is_valid: True  

判等

判断两个 DensityMatrix 对象的内部数据是否相同。

DensityMatrix.__eq__ 的API文档链接

Python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix
import numpy as np
def test_eq():
    # Prepare a complex array
    data = np.array(
        [[0.18056413 + 0.j, 0.12215589 + 0.06893592j, - 0.05337882 - 0.06077268j, - 0.06164719 - 0.00112235j],
         [0.12215589 - 0.06893592j, 0.38670196 + 0.j, - 0.251278 - 0.09109501j, 0.11033526 + 0.04016816j],
         [-0.05337882 + 0.06077268j, - 0.251278 + 0.09109501j, 0.26018725 + 0.j, - 0.14253993 + 0.02027215j],
         [-0.06164719 + 0.00112235j, 0.11033526 - 0.04016816j, - 0.14253993 - 0.02027215j, 0.17254666 + 0.j]]
    )
    # Construct a DensityMatrix object
    dm = DensityMatrix(data)
    # Construct another DensityMatrix object
    dm2 = dm
    # Print result
    print("dm==dm2:",dm==dm2)
 
if __name__ == "__main__":
    test_eq()

执行结果如下所示：

dm==dm2: True