量子信息

本教程介绍 pyqpanda3.quantum_info 模块，该模块提供了表示和操作量子态、算子、量子通道以及统计距离度量的工具。这些基本组件对于量子算法开发、误差分析和量子硬件基准测试至关重要。

前置知识： 线路构建和模拟 -- 确保您已熟悉构建量子线路和运行模拟。

1. 模块概览

quantum_info 模块提供以下组件：

python

from pyqpanda3.quantum_info import (
    StateVector,
    DensityMatrix,
    Unitary,
    Matrix,
    Kraus,
    Chi,
    Choi,
    SuperOp,
    PTM,
    hellinger_distance,
    hellinger_fidelity,
    KL_divergence,
)

这些组件分为四类：

类别	类 / 函数	用途
量子态	`StateVector`、`DensityMatrix`	表示纯态和混合态
算子	`Unitary`、`Matrix`	表示量子操作和一般矩阵
量子通道	`Kraus`、`Choi`、`SuperOp`、`Chi`、`PTM`	建模噪声和开放系统演化
距离度量	`hellinger_distance`、`hellinger_fidelity`、`KL_divergence`	比较概率分布

2. StateVector

态矢量是纯量子态最基本的表示方式。对于一个 $n$ 量子比特系统，态矢量是一个长度为 $2^{n}$ 的复数数组，其元素为概率幅：

| ψ ⟩ = \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} α_{i} | i ⟩

其中 $α_{i} \in C$ 且 $\sum_{i} | α_{i} |^{2} = 1$ 。

2.1 构造 StateVector

默认构造函数 -- 创建单量子比特态 $| 0 ⟩$ ：

python

from pyqpanda3.quantum_info import StateVector

sv = StateVector()
print(sv)
# Output: [1+0j 0+0j]

通过量子比特数构造 -- 为 $n$ 量子比特系统初始化全零态 $| 0 ⟩^{\otimes n}$ ：

python

sv = StateVector(3)  # 3 量子比特，态 |000>
print(sv.dim())       # 8
print(sv.is_valid())  # True（已归一化）

通过复数幅值的列表或 numpy 数组构造：

python

import numpy as np

# Bell 态 (|00> + |11>) / sqrt(2)
sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
print(sv)
print(sv.is_valid())  # True

通过字典构造（索引到幅值的映射）：

python

sv = StateVector({0: 1.0, 3: 1.0})
# 未归一化：索引 0 和 3 处有两个非零元素
print(sv.dim())  # 4（因为最大索引为 3）

2.2 访问数据

使用 ndarray() 获取底层数据的 numpy 数组，at(i) 获取单个元素，dim() 获取维度：

python

import numpy as np

sv = StateVector([1, 0, 0, 0])
print(sv.ndarray())  # numpy 数组: [1+0j, 0+0j, 0+0j, 0+0j]
print(sv.at(0))      # (1+0j)
print(sv.dim())      # 4

2.3 演化态矢量

evolve 方法将 QCircuit 作用于态矢量并返回一个新的 StateVector，不修改原始对象。update_by_evolve 方法功能相同，但就地更新对象：

python

from pyqpanda3.quantum_info import StateVector
from pyqpanda3.core import QCircuit, X, SWAP, CP

sv = StateVector(3)  # |000>

cir = QCircuit()
cir << X(0) << SWAP(1, 2) << CP(1, 0, 3.14)

# 函数式风格：返回新的 StateVector
sv_evolved = sv.evolve(cir)
print("Original:", sv)
print("Evolved:  ", sv_evolved)

# 就地演化
sv.update_by_evolve(cir)
print("After update:", sv)

2.4 密度矩阵与纯度

每个纯态都有对应的密度矩阵 $ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |$ 。使用 get_density_matrix() 计算它：

python

sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
dm = sv.get_density_matrix()
print(dm)

对于表示纯态的态矢量，纯度始终为 1：

γ = Tr (ρ^{2})

python

sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
print(sv.purity())  # (1+0j)

两个 StateVector 对象可以使用 == 进行比较：

python

sv1 = StateVector([1, 0, 0, 0])
sv2 = StateVector(sv1)
print(sv1 == sv2)  # True

sv3 = StateVector([0, 1, 0, 0])
print(sv1 == sv3)  # False

3. DensityMatrix

密度矩阵（或密度算子）提供了量子态的最一般描述，涵盖纯态和混合态：

ρ = \sum_{i} p_{i} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} |

其中 $p_{i} \geq 0$ 且 $\sum_{i} p_{i} = 1$ 。密度矩阵是一个迹为 1 的 $2^{n} \times 2^{n}$ 半正定厄米矩阵。

3.1 构造 DensityMatrix

默认构造函数 -- 单量子比特处于态 $| 0 ⟩ ⟨ 0 |$ ：

python

from pyqpanda3.quantum_info import DensityMatrix

dm = DensityMatrix()
print(dm)

通过量子比特数构造 -- 为 $n$ 个量子比特初始化全零态：

python

dm = DensityMatrix(3)  # 3 量子比特
print(dm.dim())  # 8

通过二维 numpy 数组构造：

python

import numpy as np

# 2 量子比特的最大混合态
data = np.eye(4, dtype=complex) / 4
dm = DensityMatrix(data)
print(dm)

通过 StateVector 构造 -- 计算 $| ψ ⟩ ⟨ ψ |$ ：

python

from pyqpanda3.quantum_info import StateVector, DensityMatrix

sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
dm = DensityMatrix(sv)
print(dm)

拷贝构造函数：

python

dm_copy = DensityMatrix(dm)
print(dm == dm_copy)  # True

3.2 访问数据

使用 ndarray() 获取数据的 numpy 数组，at(i, j) 获取单个元素，dim() 获取维度：

python

data = np.eye(4, dtype=complex) / 4
dm = DensityMatrix(data)

print(dm.ndarray())  # 4x4 numpy 数组
print(dm.at(0, 0))   # (0.25+0j)
print(dm.at(1, 2))   # 0j
print(dm.dim())      # 4

3.3 纯度与验证

纯度衡量量子态的"混合"程度。对于纯态， $γ = 1$ ；对于 $n$ 量子比特的最大混合态， $γ = 1 / 2^{n}$ ：

python

# 纯态
sv = StateVector([1, 0])
dm_pure = DensityMatrix(sv)
print(dm_pure.purity())  # (1+0j)

# 最大混合态
dm_mixed = DensityMatrix(np.eye(2, dtype=complex) / 2)
print(dm_mixed.purity())  # (0.5+0j)

is_valid() 方法检查密度矩阵是否满足三个物理要求：厄米性、半正定性和迹为 1：

python

data = np.eye(4, dtype=complex) / 4
dm = DensityMatrix(data)
print(dm.is_valid())  # True

# 一个无效的密度矩阵
bad = DensityMatrix(np.ones((4, 4), dtype=complex))
print(bad.is_valid())  # False

3.4 演化密度矩阵

与 StateVector 类似，DensityMatrix 支持通过 QCircuit 进行函数式和就地演化：

python

from pyqpanda3.core import QCircuit, X, SWAP, CP

dm = DensityMatrix(3)

cir = QCircuit()
cir << X(0) << SWAP(1, 2) << CP(1, 0, 3.14)

# 函数式：返回新的 DensityMatrix，原始对象不变
dm_evolved = dm.evolve(cir)
print("Original:", dm)
print("Evolved:  ", dm_evolved)

# 就地更新
dm.update_by_evolve(cir)
print("After update:", dm)

3.5 转换为 StateVector

对于纯态密度矩阵，to_statevector() 提取对应的态矢量：

python

sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
dm = DensityMatrix(sv)
recovered = dm.to_statevector()
print(recovered)

注意：此方法假设密度矩阵表示纯态。对于混合态，结果可能没有物理意义。

4. Unitary

Unitary 类表示从量子线路或量子门中提取的幺正算子。幺正算子 $U$ 满足 $U^{†} U = I$ 。

4.1 构造 Unitary

从量子线路构造：

python

from pyqpanda3.quantum_info import Unitary
from pyqpanda3.core import QCircuit, X, CNOT, CP

cir = QCircuit()
cir << X(0) << CP(2, 1, 5.28) << CNOT(1, 0)

u = Unitary(cir)
print(u)

Unitary(cir) 自动从线路中检测量子比特数。

4.2 访问数据

ndarray() 方法以 numpy 数组形式返回幺正矩阵：

python

cir = QCircuit()
cir << X(0) << CNOT(1, 0)

u = Unitary(cir)
matrix = u.ndarray()
print(matrix)
print("Shape:", matrix.shape)  # e.g., (8, 8)

来自同一线路的两个 Unitary 对象可以进行比较：

u1 = Unitary(cir) u2 = Unitary(cir) print(u1 == u2) # True

5. Matrix

Matrix 类是一个通用的复数矩阵封装，支持常见的线性代数运算。它作为本模块中其他类的基础构建块。

Matrix 可以表示矩形和方阵、行向量和列向量以及单位矩阵。

5.1 构造 Matrix

从 numpy 数组构造：

python

from pyqpanda3.quantum_info import Matrix
import numpy as np

# 一般矩形矩阵
data = np.array([[1+1j, 2+2j, 3+3j, 4+4j],
                 [5+5j, 6+6j, 7+7j, 8+8j],
                 [9+9j, 10+10j, 11+11j, 12+12j]], dtype=complex)
m = Matrix(data)
print(m)

从 Python 嵌套列表构造：

python

m = Matrix(np.array([[1, 0], [0, 1]], dtype=complex))
print(m.row_total())  # 2
print(m.col_total())  # 2

5.2 矩阵运算

Matrix 类提供以下运算：

python

from pyqpanda3.quantum_info import Matrix
import numpy as np

# 创建一个厄米矩阵
data = np.array([[3+0j, 1+2j],
                 [1-2j, 2+0j]], dtype=complex)
m = Matrix(data)

print("ndarray:", m.ndarray())
print("row_total:", m.row_total())  # 2
print("col_total:", m.col_total())  # 2
print("is_hermitian:", m.is_hermitian())  # True

# 转置
mt = m.transpose()
print("transpose:", mt)

# 伴随（共轭转置）
ma = m.adjoint()
print("adjoint:", ma)

# L2 范数（最大奇异值）
print("L2:", np.linalg.norm(m.ndarray(), 2))

相等性检查：

python

m2 = m
print(m == m2)  # True

6. 量子通道

量子通道描述了量子态的最一般物理变换。在数学上，它是一个完全正迹保持（CPTP）映射。pyqpanda3 支持五种等价的量子通道表示。

6.1 Kraus 表示

Kraus 算子和形式是最直观的表示：

E (ρ) = \sum_{i} K_{i} ρ K_{i}^{†}

满足迹保持条件 $\sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I$ 。

对于非迹保持通道（例如测量算子），可以使用双侧形式：

E (ρ) = \sum_{i} K_{i}^{(L)} ρ {(K_{i}^{(R)})}^{†}

构造 Kraus 通道：

python

from pyqpanda3.quantum_info import Kraus
import numpy as np

# 单侧（迹保持）：E(rho) = sum K_i rho K_i^dagger
K0 = np.array([[1, 0], [0, 0]], dtype=complex)
K1 = np.array([[0, 0], [0, 1]], dtype=complex)
kraus = Kraus([K0, K1])
print(kraus)

双侧 Kraus（用于广义通道）：

python

K0 = np.array([[1+11j, 1+12j], [1+21j, 1+22j]])
K1 = np.array([[2+11j, 2+12j], [2+21j, 2+22j]])
K2 = np.array([[3+11j, 3+12j], [3+21j, 3+22j]])

Ks_left = [K0, K1, K2]
Ks_right = [K2, K1, K0]

kraus_two = Kraus(Ks_left, Ks_right)
print(kraus_two)

访问算子：

python

left_ops = kraus_two.left()   # 左算子列表
right_ops = kraus_two.right()  # 右算子列表
for op in left_ops:
    print(op)

增量构造：

python

kraus = Kraus()
kraus.left_push_back(K0)
kraus.left_push_back(K1)
kraus.right_push_back(K0)
print(kraus)

其他 Kraus 方法包括 append(other_kraus) 用于组合通道，以及 clear() 用于移除所有算子。

6.2 Choi 表示

Choi 矩阵将通道表示为 $d^{2} \times d^{2}$ 半正定矩阵。对于作用于 $d$ 维态上的通道 $E$ ：

J (E) = \sum_{i, j = 0}^{d - 1} | i ⟩ ⟨ j | \otimes E (| i ⟩ ⟨ j |)

当且仅当 Choi 矩阵半正定时，通道是完全正的。当且仅当 Choi 矩阵在输出空间上的偏迹等于单位矩阵时，通道是迹保持的。

python

from pyqpanda3.quantum_info import Choi

# 从 Kraus 构造
choi = Choi(kraus)
print(choi)
print("Input dim:", choi.get_input_dim())
print("Output dim:", choi.get_output_dim())

6.3 SuperOp 表示

SuperOp（超算子）表示将通道重塑为 $d^{2} \times d^{2}$ 矩阵，作用于向量化后的密度矩阵：

vec (E (ρ)) = S \cdot vec (ρ)

这对于组合通道很有用（SuperOp 矩阵的矩阵乘法对应于通道的顺序应用）。

python

from pyqpanda3.quantum_info import SuperOp

superop = SuperOp(kraus)
print(superop)
print("Input dim:", superop.get_input_dim())
print("Output dim:", superop.get_output_dim())

6.4 Chi 表示

Chi（ $χ$ ）矩阵在 Pauli 基下展开通道。对于 $n$ 量子比特通道，Pauli 基由 ${I, X, Y, Z}$ 的 $4^{n}$ 个张量积组成：

E (ρ) = \sum_{m, n} χ_{m n} P_{m} ρ P_{n}^{†}

Chi 矩阵对于过程层析成像和噪声表征很有用。

python

from pyqpanda3.quantum_info import Chi

chi = Chi(kraus)
print(chi)
print("Input dim:", chi.get_input_dim())
print("Output dim:", chi.get_output_dim())

6.5 PTM 表示

Pauli 传递矩阵（PTM）描述通道如何变换 Pauli 期望值：

R_{m n} = \frac{1}{d} Tr (P_{m} E (P_{n}))

PTM 是实值矩阵（对于保厄米通道），常用于随机基准测试和门集层析成像。

python

from pyqpanda3.quantum_info import PTM

ptm = PTM(kraus)
print(ptm)
print("Input dim:", ptm.get_input_dim())
print("Output dim:", ptm.get_output_dim())

6.6 不同表示之间的转换

所有五种表示都可以从任何其他表示构造。pyqpanda3 会自动处理转换：

python

from pyqpanda3.quantum_info import Kraus, Choi, Chi, SuperOp, PTM

K0 = np.array([[1, 0], [0, 0]], dtype=complex)
K1 = np.array([[0, 0], [0, 1]], dtype=complex)
kraus = Kraus([K0, K1])

# 转换为所有其他表示
choi = Choi(kraus)
superop = SuperOp(kraus)
chi = Chi(kraus)
ptm = PTM(kraus)

# 反向转换 -- 每种都可以从任何其他表示构造
kraus_from_choi = Kraus(choi)
kraus_from_chi = Kraus(chi)
kraus_from_superop = Kraus(superop)
kraus_from_ptm = Kraus(ptm)

# 也支持交叉转换
choi_from_superop = Choi(superop)
ptm_from_chi = PTM(chi)
chi_from_ptm = Chi(ptm)

6.7 通过通道演化量子态

所有通道表示都支持 evolve 方法，该方法接受 StateVector 或 DensityMatrix 并返回 DensityMatrix：

python

from pyqpanda3.quantum_info import (
    StateVector, DensityMatrix, Kraus
)
import numpy as np

# 定义振幅阻尼通道
gamma = 0.3
K0 = np.array([[1, 0], [0, np.sqrt(1 - gamma)]], dtype=complex)
K1 = np.array([[0, np.sqrt(gamma)], [0, 0]], dtype=complex)
kraus = Kraus([K0, K1])

# 演化密度矩阵
dm = DensityMatrix(np.eye(2, dtype=complex) / 2)
result = kraus.evolve(dm)
print("Evolved density matrix:", result)
print("Is valid:", result.is_valid())

# 演化态矢量（返回 DensityMatrix）
sv = StateVector([0, 1])  # |1>
result_sv = kraus.evolve(sv)
print("Evolved from |1>:", result_sv)
print("Is valid:", result_sv.is_valid())

7. 距离与相似度度量

quantum_info 模块提供三种统计距离度量，用于比较概率分布。这些度量对于量子硬件基准测试、比较测量结果与期望输出以及噪声分析至关重要。

7.1 Hellinger 距离

Hellinger 距离衡量两个离散概率分布之间的相似度。它接受字符串或整数键的字典：

H_{d} (p, q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\sum_{x} {(\sqrt{p (x)} - \sqrt{q (x)})}^{2}}

性质：

取值范围： $[0, 1]$
$H_{d} (p, p) = 0$ （相同分布）
当 $p$ 和 $q$ 支撑集不相交时， $H_{d} (p, q) = 1$

python

from pyqpanda3.quantum_info import hellinger_distance

# 字符串键
p = {'00': 0.5, '11': 0.5}
q = {'00': 0.6, '11': 0.4}
print(hellinger_distance(p, q))

# 整数键
p2 = {0: 0.25, 1: 0.25, 2: 0.25, 3: 0.25}
q2 = {0: 0.5, 1: 0.3, 2: 0.1, 3: 0.1}
print(hellinger_distance(p2, q2))

7.2 Hellinger 保真度

由 Hellinger 距离导出的保真度，提供了一种相似度度量：相同分布时为 1，差异最大时为 0：

H_{f} (p, q) = {(1 - H_{d} (p, q)^{2})}^{2}

python

from pyqpanda3.quantum_info import hellinger_fidelity

p = {'00': 0.5, '11': 0.5}
q = {'00': 0.48, '11': 0.45, '01': 0.04, '10': 0.03}

hd = hellinger_distance(p, q)
hf = hellinger_fidelity(p, q)
print(f"Hellinger distance: {hd:.6f}")
print(f"Hellinger fidelity:  {hf:.6f}")

7.3 KL 散度（离散）

Kullback-Leibler 散度衡量概率分布 $p$ 与第二个分布 $q$ 之间的偏离程度：

KL (p | q) = \sum_{x} p (x) \log (\frac{p (x)}{q (x)})

性质：

始终非负： $KL (p | q) \geq 0$
不对称：一般情况下 $KL (p | q) \neq KL (q | p)$
当且仅当 $p = q$ 时， $KL (p | q) = 0$
当 $q (x) = 0$ 且 $p (x) > 0$ 时未定义

对于离散分布，KL_divergence 接受两个概率列表或 numpy 数组：

python

from pyqpanda3.quantum_info import KL_divergence

p = [0.5, 0.5]
q = [0.6, 0.4]
kl = KL_divergence(p, q)
print(f"KL(p || q) = {kl:.6f}")

# 不对称性演示
kl_reverse = KL_divergence(q, p)
print(f"KL(q || p) = {kl_reverse:.6f}")
# 这两个值将不同

# 相同分布
print(KL_divergence([0.25, 0.25, 0.25, 0.25],
                    [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]))  # 0.0

7.4 KL 散度（连续）

对于连续概率分布，KL_divergence 接受 Python 可调用对象（函数）以及积分范围步长：

KL (p | q) = \int_{x_{start}}^{x_{end}} p (x) \log (\frac{p (x)}{q (x)}) d x

数值积分使用步长为 dx 的黎曼和：

python

from pyqpanda3.quantum_info import KL_divergence
import math

def normal_pdf(x, mu, sigma):
    coefficient = 1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))
    exponent = math.exp(-0.5 * ((x - mu) / sigma) ** 2)
    return coefficient * exponent

def p_pdf(x):
    return normal_pdf(x, mu=3, sigma=3.14)

def q_pdf(x):
    return 0.000001  # 近似均匀分布（接近零的常数）

kl_continuous = KL_divergence(
    p_pdf=p_pdf,
    q_pdf=q_pdf,
    x_start=-5.0,
    x_end=6.0,
    dx=0.0001
)
print(f"Continuous KL divergence: {kl_continuous:.6f}")

8. 完整示例

以下示例将态构造、线路演化、通道应用和距离度量组合为一个完整的工作流程：

python

import numpy as np
from pyqpanda3 import core
from pyqpanda3.quantum_info import (
    StateVector, DensityMatrix, Unitary, Kraus, Choi, Chi, SuperOp, PTM,
    hellinger_distance, hellinger_fidelity, KL_divergence,
)

# --- 步骤 1：创建 Bell 态 ---
sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
print("Bell state purity:", sv.purity())  # (1+0j)

# --- 步骤 2：转换为密度矩阵 ---
dm = DensityMatrix(sv)
print("Is valid:", dm.is_valid())  # True

# --- 步骤 3：从线路提取幺正算子 ---
cir = core.QCircuit()
cir << core.H(0) << core.CNOT(0, 1)
u = Unitary(cir)
print("Unitary matrix shape:", u.ndarray().shape)

# --- 步骤 4：应用去极化噪声通道 ---
p_noise = 0.1
I = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

kraus = Kraus([
    np.sqrt(1 - 3*p_noise/4) * I,
    np.sqrt(p_noise/4) * X,
    np.sqrt(p_noise/4) * Y,
    np.sqrt(p_noise/4) * Z,
])
dm_noisy = kraus.evolve(dm)
print("Noisy purity:", dm_noisy.purity())

# --- 步骤 5：在通道表示之间转换 ---
choi = Choi(kraus)
chi = Chi(kraus)
superop = SuperOp(kraus)
ptm = PTM(kraus)

# 所有表示产生等价的演化
print("Choi evolve == Chi evolve:",
      choi.evolve(dm) == chi.evolve(dm))

# --- 步骤 6：使用距离度量比较分布 ---
ideal = {'00': 0.5, '11': 0.5}
noisy = {'00': 0.48, '11': 0.45, '01': 0.04, '10': 0.03}
print("Hellinger distance:", hellinger_distance(ideal, noisy))
print("Hellinger fidelity: ", hellinger_fidelity(ideal, noisy))
print("KL divergence:", KL_divergence(
    [0.5, 0.0, 0.0, 0.5],
    [0.48, 0.04, 0.03, 0.45]
))

9. 数学背景

量子态

纯态由希尔伯特空间中的归一化矢量描述：

| ψ ⟩ = \sum_{i = 0}^{d - 1} α_{i} | i ⟩, \sum_{i} | α_{i} |^{2} = 1

混合态 是纯态的统计系综，由密度矩阵描述：

ρ = \sum_{i} p_{i} | ψ_{i} ⟩ ⟨ ψ_{i} |, p_{i} \geq 0, \sum_{i} p_{i} = 1

有效密度矩阵的性质：

厄米性： $ρ = ρ^{†}$
半正定性： $ρ \geq 0$
迹为 1： $Tr (ρ) = 1$

纯度

纯度量化量子态的"混合程度"：

γ = Tr (ρ^{2})

$γ = 1$ ：纯态
$1 / d < γ < 1$ ：混合态（ $d = 2^{n}$ ）
$γ = 1 / d$ ：最大混合态

Kraus 算子和表示

量子态的最一般物理变换为：

E (ρ) = \sum_{i} K_{i} ρ K_{i}^{†}

满足迹保持条件 $\sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I$ 。

通道表示

表示同一 CPTP 映射的五种等价方式：

表示	矩阵大小	关键性质
Kraus	一组 $d \times d^{'}$ 矩阵	算子和形式
Choi	$d d^{'} \times d d^{'}$	当且仅当 CP 时半正定
SuperOp	$d^{' 2} \times d^{2}$	向量化 $ρ$ 上的线性映射
Chi	$d^{2} \times d^{2}$	Pauli 基展开
PTM	$d^{2} \times d^{2}$ （实值）	Pauli 期望值映射

Hellinger 距离与保真度

H_{d} (p, q) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\sum_{x} {(\sqrt{p (x)} - \sqrt{q (x)})}^{2}}

H_{f} (p, q) = {(1 - H_{d} (p, q)^{2})}^{2}

KL 散度

离散形式：

KL (p | q) = \sum_{x} p (x) \log (\frac{p (x)}{q (x)})

连续形式：

KL (p | q) = \int p (x) \log (\frac{p (x)}{q (x)}) d x

注意，KL 散度不是真正的度量——它是非对称的，不满足三角不等式。但它是一个合理的散度度量：始终非负，且仅当 $p = q$ 时为零。

10. API 参考

StateVector

方法	签名	描述
构造函数	`StateVector()`	单量子比特处于 $\| 0 ⟩$
构造函数	`StateVector(qbit_total: int)`	$n$ 量子比特全零态
构造函数	`StateVector(data: list)`	从复数幅值列表构造
构造函数	`StateVector(data: dict)`	从索引-幅值映射构造
构造函数	`StateVector(data: Eigen)`	从 Eigen 矢量构造
`ndarray()`	`-> numpy.ndarray`	内部数据的 numpy 数组
`dim()`	`-> int`	维度（ $2^{n}$ ）
`at(idx)`	`-> complex`	索引处的元素
`purity()`	`-> complex`	$Tr (ρ^{2})$
`is_valid()`	`-> bool`	检查归一化
`evolve(circuit)`	`-> StateVector`	函数式演化
`update_by_evolve(circuit)`	`-> StateVector`	就地演化
`get_density_matrix()`	`-> DensityMatrix`	计算 $\| ψ ⟩ ⟨ ψ \|$

DensityMatrix

方法	签名	描述
构造函数	`DensityMatrix()`	单量子比特 $\| 0 ⟩ ⟨ 0 \|$
构造函数	`DensityMatrix(qbit_total: int)`	$n$ 量子比特全零态
构造函数	`DensityMatrix(data: 2D array)`	从矩阵数据构造
构造函数	`DensityMatrix(StateVector)`	从纯态构造
`ndarray()`	`-> numpy.ndarray`	内部数据
`dim()`	`-> int`	维度
`at(row, col)`	`-> complex`	矩阵元素
`purity()`	`-> complex`	$Tr (ρ^{2})$
`is_valid()`	`-> bool`	厄米性、半正定、迹为 1
`evolve(circuit)`	`-> DensityMatrix`	函数式演化
`update_by_evolve(circuit)`	`-> DensityMatrix`	就地演化
`to_statevector()`	`-> StateVector`	提取态矢量

量子通道（Kraus、Choi、SuperOp、Chi、PTM）

所有通道类共享通用接口：

方法	描述
`Constructor(other_repr)`	从任何其他表示转换
`evolve(state)`	将通道应用于 StateVector 或 DensityMatrix
`get_input_dim()`	输入希尔伯特空间维度
`get_output_dim()`	输出希尔伯特空间维度

Kraus 特有方法：

方法	描述
`left()`	左算子列表
`right()`	右算子列表
`left_push_back(val)`	追加到左算子列表
`right_push_back(val)`	追加到右算子列表
`append(other)`	与另一个 Kraus 通道组合
`clear()`	移除所有算子

距离函数

函数	签名	描述
`hellinger_distance`	`(dict, dict) -> float`	Hellinger 距离 $H_{d} \in [0, 1]$
`hellinger_fidelity`	`(dict, dict) -> float`	Hellinger 保真度 $H_{f} \in [0, 1]$
`KL_divergence`	`(list, list) -> float`	离散 KL 散度
`KL_divergence`	`(fn, fn, float, float, float) -> float`	通过数值积分的连续 KL 散度

下一步？

既然您已经了解了 pyqpanda3 中的量子信息基础知识，请继续学习：

可视化 -- 在 Bloch 球上可视化量子态并绘制态演化
变分线路 -- 在变分量子算法中使用态演化
噪声模拟 -- 了解噪声通道在实际中如何影响量子态

知识检测

测试您对 quantum_info 模块的理解。

Q1：纯态和混合态有什么区别？如何通过编程区分它们？

A1：纯态可以用单个态矢量 $| ψ ⟩$ 描述，其纯度 $γ = Tr (ρ^{2}) = 1$ 。混合态是统计系综，其纯度 $γ < 1$ 。在 pyqpanda3 中，计算 dm.purity() 并检查其实部是否等于 1。

Q2：什么是 Kraus 算子和表示？对于迹保持通道，Kraus 算子需要满足什么条件？

A2：Kraus 表示将通道写为 $E (ρ) = \sum_{i} K_{i} ρ K_{i}^{†}$ 。为满足迹保持，算子必须满足 $\sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I$ 。这确保了对于所有有效的 $ρ$ ，都有 $Tr (E (ρ)) = Tr (ρ)$ 。

Q3：列出 pyqpanda3 中所有五种量子通道表示，并说明各自的优点。

A3：(1) Kraus -- 直观的物理解释；(2) Choi -- 易于验证完全正性（检查半正定性）；(3) SuperOp -- 组合操作为矩阵乘法；(4) Chi -- 在 Pauli 基下进行过程层析成像的自然选择；(5) PTM -- 实值，用于随机基准测试。

Q4：为什么 KL 散度不是真正的度量？这对比较两个分布有什么影响？

A4：KL 散度是非对称的：一般情况下 $KL (p | q) \neq KL (q | p)$ ，且不满足三角不等式。这意味着"方向"很重要—— $KL (p | q)$ 衡量的是用 $q$ 近似 $p$ 时损失的信息量，而非对称距离。

Q5：如果将 $γ = 0.5$ 的振幅阻尼通道应用于态 $| 1 ⟩$ ，演化后在该量子比特上测量到 $| 0 ⟩$ 的概率是多少？

A5：振幅阻尼 Kraus 算子为 $K_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1 - γ} \end{matrix})$ 和 $K_{1} = (\begin{matrix} 0 & \sqrt{γ} \\ 0 & 0 \end{matrix})$ 。对于 $| 1 ⟩$ ： $K_{0} | 1 ⟩ = \sqrt{0.5} | 1 ⟩$ ， $K_{1} | 1 ⟩ = \sqrt{0.5} | 0 ⟩$ 。测量到 $| 0 ⟩$ 的概率为 $| \sqrt{0.5} |^{2} = 0.5$ ，与阻尼参数 $γ$ 一致。

Q6：is_valid() 对 DensityMatrix 检查什么？

A6：它验证三个性质：(1) 厄米性： $ρ = ρ^{†}$ ；(2) 半正定性：所有特征值 $\geq 0$ ；(3) 迹为 1： $Tr (ρ) = 1$ 。满足所有三个条件的矩阵才是物理上有效的密度矩阵。

Q7：什么时候应该对 StateVector 或 DensityMatrix 使用 evolve() 而不是 update_by_evolve()？

A7：当您希望保留原始状态时，使用 evolve() 的函数式编程风格——它返回一个新对象。当您不再需要原始状态并希望通过就地修改来节省内存时，使用 update_by_evolve()。

练习 1：去极化通道纯度分析

构造参数为 $p$ 的去极化通道，并将其应用于 Bell 态密度矩阵。绘制或打印当 $p$ 从 0 增加到 1 时纯度的变化。

解答：

python

import numpy as np
from pyqpanda3.quantum_info import StateVector, DensityMatrix, Kraus

# Bell 态
sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 0, 0, 1/np.sqrt(2)])
dm = DensityMatrix(sv)

# Pauli 矩阵
I = np.eye(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)

# 2 量子比特单位矩阵（用于张量积通道）
I4 = np.eye(4, dtype=complex)

print("p     | purity")
print("------|-------")
for p in [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0]:
    # 对量子比特 0 的单量子比特去极化
    K0 = np.sqrt(1 - 3*p/4) * I
    K1 = np.sqrt(p/4) * X
    K2 = np.sqrt(p/4) * Y
    K3 = np.sqrt(p/4) * Z

    # 扩展到 2 量子比特：I ⊗ Ki
    K0_2 = np.kron(K0, I)
    K1_2 = np.kron(K1, I)
    K2_2 = np.kron(K2, I)
    K3_2 = np.kron(K3, I)

    kraus = Kraus([K0_2, K1_2, K2_2, K3_2])
    dm_noisy = kraus.evolve(dm)
    purity = dm_noisy.purity()
    print(f"{p:.1f}   | {purity.real:.6f}")

练习 2：通道表示往返验证

创建一个 Kraus 通道，将其转换为所有其他四种表示，然后再将每种表示转换回 Kraus，验证它们在测试态上产生相同的演化。

解答：

python

import numpy as np
from pyqpanda3.quantum_info import (
    StateVector, DensityMatrix, Kraus, Choi, Chi, SuperOp, PTM
)

# 定义比特翻转通道
p = 0.2
K0 = np.array([[np.sqrt(1-p), 0], [0, np.sqrt(1-p)]], dtype=complex)
K1 = np.array([[0, np.sqrt(p)], [np.sqrt(p), 0]], dtype=complex)
kraus = Kraus([K0, K1])

# 转换为所有表示并转换回来
choi = Choi(kraus)
kraus_from_choi = Kraus(choi)

chi = Chi(kraus)
kraus_from_chi = Kraus(chi)

superop = SuperOp(kraus)
kraus_from_superop = Kraus(superop)

ptm = PTM(kraus)
kraus_from_ptm = Kraus(ptm)

# 测试态 |+>
sv = StateVector([1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2)])
dm = DensityMatrix(sv)

# 所有表示应产生相同的演化态
result_original = kraus.evolve(dm)
result_choi = kraus_from_choi.evolve(dm)
result_chi = kraus_from_chi.evolve(dm)
result_superop = kraus_from_superop.evolve(dm)
result_ptm = kraus_from_ptm.evolve(dm)

print("All representations produce same result:")
print(f"  Original == Choi round-trip:    {result_original == result_choi}")
print(f"  Original == Chi round-trip:     {result_original == result_chi}")
print(f"  Original == SuperOp round-trip: {result_original == result_superop}")
print(f"  Original == PTM round-trip:     {result_original == result_ptm}")

量子信息 ​

目录 ​

1. 模块概览 ​

2. StateVector ​

2.1 构造 StateVector ​

2.2 访问数据 ​

2.3 演化态矢量 ​

2.4 密度矩阵与纯度 ​

3. DensityMatrix ​

3.1 构造 DensityMatrix ​

3.2 访问数据 ​

3.3 纯度与验证 ​

3.4 演化密度矩阵 ​

3.5 转换为 StateVector ​

4. Unitary ​

4.1 构造 Unitary ​

4.2 访问数据 ​

5. Matrix ​

5.1 构造 Matrix ​

5.2 矩阵运算 ​

6. 量子通道 ​

6.1 Kraus 表示 ​

6.2 Choi 表示 ​

6.3 SuperOp 表示 ​

6.4 Chi 表示 ​

6.5 PTM 表示 ​

6.6 不同表示之间的转换 ​

6.7 通过通道演化量子态 ​

7. 距离与相似度度量 ​

7.1 Hellinger 距离 ​

7.2 Hellinger 保真度 ​

7.3 KL 散度（离散） ​

7.4 KL 散度（连续） ​

8. 完整示例 ​

9. 数学背景 ​

量子态 ​

纯度 ​

Kraus 算子和表示 ​

通道表示 ​

Hellinger 距离与保真度 ​

KL 散度 ​

10. API 参考 ​

StateVector ​

DensityMatrix ​

量子通道（Kraus、Choi、SuperOp、Chi、PTM） ​

距离函数 ​

下一步？ ​

知识检测 ​

量子信息

目录

1. 模块概览

2. StateVector

2.1 构造 StateVector

2.2 访问数据

2.3 演化态矢量

2.4 密度矩阵与纯度

3. DensityMatrix

3.1 构造 DensityMatrix

3.2 访问数据

3.3 纯度与验证

3.4 演化密度矩阵

3.5 转换为 StateVector

4. Unitary

4.1 构造 Unitary

4.2 访问数据

5. Matrix

5.1 构造 Matrix

5.2 矩阵运算

6. 量子通道

6.1 Kraus 表示

6.2 Choi 表示

6.3 SuperOp 表示

6.4 Chi 表示

6.5 PTM 表示

6.6 不同表示之间的转换

6.7 通过通道演化量子态

7. 距离与相似度度量

7.1 Hellinger 距离

7.2 Hellinger 保真度

7.3 KL 散度（离散）

7.4 KL 散度（连续）

8. 完整示例

9. 数学背景

量子态

纯度

Kraus 算子和表示

通道表示

Hellinger 距离与保真度

KL 散度

10. API 参考

StateVector

DensityMatrix

量子通道（Kraus、Choi、SuperOp、Chi、PTM）

距离函数

下一步？

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