振幅放大
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振幅放大（Amplitude Amplification）线路的主要作用为对于给定纯态的振幅进行放大，从而调整其测量结果概率分布。

算法背景
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对于某个已知大小的可二元分类且标准 :math:`f` 确定的有限集合 :math:`\Omega`，基于 :math:`f` 可以将集合中的任一元素\
:math:`\left|\psi\right\rangle` 表示为两个正交基态 :math:`\left|\varphi_0\right\rangle,\left|\varphi_1\right\rangle` 的线性组合。

.. math::

   \begin{aligned}
   \left|\psi\right\rangle=sin\theta\left|\varphi_1\right\rangle+cos\theta\left|\varphi_0\right\rangle, \ 
   \left|\varphi_0\right\rangle=\left|\varphi_1^\bot\right\rangle.
   \end{aligned}

振幅放大量子线路可以将叠加态 :math:`\left|\psi\right\rangle` 的表达式中 :math:`\left|\varphi_1\right\rangle` 的振幅放大，从而得到\
一个结果量子态，能够以大概率测量得到目标量子态 :math:`\left|\varphi_1\right\rangle`。

假设我们可以构造出某种量子门操作的组合，记该组合为振幅放大算子 :math:`Q` ，将 :math:`Q` 作用 :math:`k` 次于量子态\
:math:`\left|\psi\right\rangle` 上得到形如下式的量子态

.. math::

   \begin{aligned}
   \left|\psi_k\right\rangle=\sin{k\theta}\left|\varphi_1\right\rangle+\cos{k\theta} \ 
   \left|\varphi_0\right\rangle,\ k\theta\approx\frac{\pi}{2}.
   \end{aligned}

那么就完成了所需的振幅放大量子线路构建。

相应的量子线路图如下：

.. image:: images/AmplitudeAmplification.png
   :align: center

假设基于集合 :math:`\Omega` 和分类标准 :math:`f` 的量子态 :math:`\left|\psi\right\rangle`\
已经完成制备，关键在于构造振幅放大算子 :math:`Q` 。

定义振幅放大算子如下

.. math::

   \begin{aligned}
   P_1=I-2\left|\varphi_1\right\rangle \left\langle\varphi_1\right|,
   P=I-2\left|\psi\right\rangle \left\langle\psi\right|,
   Q=-PP_1.
   \end{aligned}

.. note:: 如何通过集合 :math:`\Omega` 和分类标准 :math:`f` 来制备量子态？ :math:`P_1,P` \
   又是怎样通过量子线路实现的？

简单验证可知在 :math:`\{\left|\varphi_1\right\rangle,\left|\varphi_0\right\rangle\}`\
张成的空间中算子 :math:`Q` 可以表示为

.. math::

   \begin{aligned}
   Q=\left[\begin{matrix}\cos{\left(2\theta\right)}&-\sin{\left(2\theta\right)}\\
    \sin{\left(2\theta\right)}&\cos{\left(2\theta\right)}\\\end{matrix}\right]
   \end{aligned}

实质上可以视为一个角度为 :math:`2\theta` 的旋转量子门操作。因此有

.. math::

   \begin{aligned}
   Q^n\left|\psi\right\rangle=\sin{\left(2n+1\right)\theta}\left|\varphi_1
   \right\rangle+\cos{\left(2n+1\right)\theta}\left|\varphi_0\right\rangle.
   \end{aligned}

选取合适的旋转次数 :math:`n` 使得 :math:`\sin^2{\left(2n+1\right)\theta}` 最\
接近 :math:`1` 即可完成振幅放大量子线路。

相比经典的遍历分类方法，振幅放大量子线路可以充分体现量子计算的优势。

代码实例
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取 :math:`\Omega=\{0,1\}, \left|\psi\right\rangle = \sin{\frac{\pi}{6}}\left|1\right\rangle+
\cos{\frac{\pi}{6}}\left|0\right\rangle,\ P_1=I-2\left|1\right\rangle \left\langle 1\right|=Z,
P=I-2\left|\psi\right\rangle \left\langle\psi\right|`，

振幅放大量子线路的相应代码实例如下

.. code-block:: c

   #include "QPanda.h"
   using namespace QPanda;

   int main(void)
   {
      auto qvm = CPUQVM();
      qvm.init();
      // 申请寄存器并初始化
      QVec qvec = qvm.qAllocMany(1);

      // 构建振幅放大量子线路
      auto prog = QProg();
      prog << RY(qvec[0], PI / 3);
      prog << Z(qvec[0]) << RY(qvec[0], PI * 4 / 3);

      // 以概率方法输出结果量子态的理论值（并非测量）
      auto result = qvm.probRunDict(prog, qvec);
      qvm.finalize();

      // 输出结果
      for (auto& aiter : result)
      {
         cout << aiter.first << " : " << aiter.second << endl;
      }

      return 0;
   }

输出结果应如下所示，分别以 :math:`1` 和 :math:`0` 的概率\
得到 :math:`\left|1\right\rangle`\和 :math:`\left|0\right\rangle` ：

.. code-block:: c
    
    0:0
    1:1